O bocal descarrega uma lâmina d’água por um arco de 180^{\circ}. A velocidade da água é 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a espessura do jato é 30 mm , numa distância radial de 0,3 \mathrm{~m}, a partir da linha de centro do tubo de suprimento. Determine a vazão volumétrica da água no jato em forma de lâmina e determine a componente y da força necessária para manter o bocal no lugar. Resp. v=0,424 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} e Rsy =4,05 \mathrm{kN}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) a vazão volumétrica da lâmina d’água e (2) a componente y da força necessária para manter o bocal no lugar. Informações fornecidas (todas serão usadas):
\text{velocidade do jato: } v=15\\ \mathrm{m/s},
\text{espessura do jato: } t=30\\ \mathrm{mm}=0,03\\ \mathrm{m},
\text{distância radial (raio do arco): } r=0,3\\ \mathrm{m},â
\text{arco subtendido: } 180^\circ=\pi\\ \text{rad}.
Vou assumir água incompressível com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e que a velocidade v e a espessura t são uniformes ao longo da lâmina. A lâmina forma um arco de raio r e ângulo \pi; para obter componente y escolhemos a orientação do arco simétrica em relação ao eixo y, isto é, o arco vai de \theta=-\pi/2 a \theta=+\pi/2 (assim as componentes y de velocidade somam).

Passo 2

Primeiro cálculo: área da seção transversal do jato (área normal ao fluxo) — a lâmina tem espessura t e comprimento igual ao comprimento do arco. O comprimento do arco é s=r\theta. Portanto a área é
A = t \cdot (r\theta).
Substituindo os valores:
A = 0,03\cdot(0,3\cdot\pi)=0,009\pi\\ \mathrm{m^2}.
Para numerar:
A \approx 0,009\cdot3,14159=0,028274\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Vazão volumétrica Q é a velocidade vezes a área da seção:
Q = v\,A.
Substituindo:
Q = 15\cdot 0,028274\approx 0,424115\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando para três casas decimais:
Q \approx 0,424\\ \mathrm{m^3/s}.
(Na prova você pode calcular Q diretamente usando Q=v\,t\,r\,\theta, pois A=t r\theta.)

Passo 4

Agora a componente y da força. Ideia física: força necessária para manter o bocal = taxa de variação do momento linear (fluxo de quantidade de movimento) na direção y. Vamos dividir a lâmina em um elemento infinitesimal correspondente a um ângulo \mathrm{d}\theta. Em coordenadas polares o versor tangencial (direção da velocidade) é
\mathbf{e}_\theta = (-\sin\theta,\;\cos\theta),
logo a componente y da velocidade é v_y = v\cos\theta.
Área correspondente ao elemento angular \mathrm{d}\theta:
\mathrm{d}A = t\cdot (r\,\mathrm{d}\theta).
Massa que sai por esse elemento por unidade de tempo:
\mathrm{d}\dot m = \rho\,v\,\mathrm{d}A=\rho\,v\,t\,r\,\mathrm{d}\theta.
Contribuição desse elemento para a taxa de saída de momento na direção y:
\mathrm{d}\dot p_y = \mathrm{d}\dot m \cdot v_y = \rho\,v^2\,t\,r\,\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.
Para obter a taxa total de momento na direção y integramos sobre o arco \theta\in[-\pi/2,\pi/2]:
\dot P_y=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\rho\,v^2\,t\,r\,\cos\theta\,\mathrm{d}\theta =\rho\,v^2\,t\,r\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta.
Calcule a integral:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos\theta\,\mathrm{d}\theta = \big[\sin\theta\big]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\pi/2)-\sin(-\pi/2)=1-(-1)=2.
Portanto
\dot P_y = 2\,\rho\,v^2\,t\,r.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos:
\dot P_y = 2\cdot 1000\cdot (15)^2\cdot 0,03\cdot 0,3.
Calcule passo a passo: (15)^2=225, e 0,03\cdot0,3=0,009, então
\dot P_y = 2\cdot 1000\cdot 225\cdot 0,009 = 2\cdot 1000\cdot 2,025 = 4050\\ \mathrm{N}.
Assim a taxa de variação do momento na direção y é 4050\\ \mathrm{N}. O bocal, para impulsionar a água nessa direção y, exerce uma força para cima sobre o fluido; pela terceira lei de Newton, o fluido exerce uma força de 4050\\ \mathrm{N} para baixo sobre o bocal. Para manter o bocal no lugar o suporte deve fornecer R_{sy}=4{,}05\\ \mathrm{kN} para cima (módulo 4{,}05\\ \mathrm{kN}).

Resposta

v=0,424\\ \mathrm{m^3/s}
R_{sy}=4{,}05\\ \mathrm{kN}

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