O bocal descarrega uma lâmina d’água por um arco de
. A velocidade da água é
e a espessura do jato é 30 mm , numa distância radial de
, a partir da linha de centro do tubo de suprimento. Determine a vazão volumétrica da água no jato em forma de lâmina e determine a componente y da força necessária para manter o bocal no lugar. Resp. v=0,424
e Rsy
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) a vazão volumétrica da lâmina d’água e (2) a componente
da força necessária para manter o bocal no lugar. Informações fornecidas (todas serão usadas):
Vou assumir água incompressível com densidade
e que a velocidade
e a espessura
são uniformes ao longo da lâmina. A lâmina forma um arco de raio
e ângulo
; para obter componente
escolhemos a orientação do arco simétrica em relação ao eixo
, isto é, o arco vai de
a
(assim as componentes
de velocidade somam).
Passo 2
Primeiro cálculo: área da seção transversal do jato (área normal ao fluxo) — a lâmina tem espessura
e comprimento igual ao comprimento do arco. O comprimento do arco é
. Portanto a área é
Substituindo os valores:
Para numerar:
Passo 3
Vazão volumétrica
é a velocidade vezes a área da seção:
Substituindo:
Arredondando para três casas decimais:
(Na prova você pode calcular
diretamente usando
, pois
.)
Passo 4
Agora a componente
da força. Ideia física: força necessária para manter o bocal = taxa de variação do momento linear (fluxo de quantidade de movimento) na direção
. Vamos dividir a lâmina em um elemento infinitesimal correspondente a um ângulo
. Em coordenadas polares o versor tangencial (direção da velocidade) é
logo a componente
da velocidade é
.
Área correspondente ao elemento angular
:
Massa que sai por esse elemento por unidade de tempo:
Contribuição desse elemento para a taxa de saída de momento na direção
:
Para obter a taxa total de momento na direção
integramos sobre o arco
:
Calcule a integral:
Portanto
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos:
Calcule passo a passo:
, e
, então
Assim a taxa de variação do momento na direção
é
. O bocal, para impulsionar a água nessa direção
, exerce uma força para cima sobre o fluido; pela terceira lei de Newton, o fluido exerce uma força de
para baixo sobre o bocal. Para manter o bocal no lugar o suporte deve fornecer
para cima (módulo
).