A demanda por água potável de um escritório é atendida por grandes garrafas de água com uma mangueira de plástico inserida nelas. O tubo de plástico mostrado, que liga a garrafa ao copo, tem diâmetro de
. O tempo mínimo de enchimento de um copo de 240 ml deve ser determinado quando: a) a garrafa estiver cheia; b) quando estiver quase vazia
Passo 1
O enunciado pede o tempo mínimo para encher um copo de
ml usando o tubo de plástico de diâmetro
nas duas situações:
a) quando a garrafa está cheia;
b) quando a garrafa está quase vazia.
Informações dadas explícitas: o diâmetro do tubo é e o volume do copo é
.
Importante: o enunciado original menciona um tubo mostrado numa figura. Essa figura provavelmente fornece as alturas (diferença de nível entre a superfície livre da água na garrafa e a saída do tubo) que determinam a velocidade do jato. Como essa figura NÃO foi enviada, não conhecemos os valores numéricos de altura para os dois casos. Portanto NÃO É POSSÍVEL calcular valores numéricos finais (segundos) sem saber essas alturas.
Vou, então, (i) apresentar a dedução passo a passo e didática da fórmula que dá o tempo em função de , (ii) calcular a constante numérica que transforma
em tempo para os dados do tubo, e (iii) mostrar como obter o tempo numérico assim que você fornecer (ou ler da figura) os valores de
. Também dou exemplos numéricos assumindo alturas plausíveis para você ter uma ideia.
a) quando a garrafa está cheia;
b) quando a garrafa está quase vazia.
Informações dadas explícitas: o diâmetro do tubo é
Importante: o enunciado original menciona um tubo mostrado numa figura. Essa figura provavelmente fornece as alturas (diferença de nível entre a superfície livre da água na garrafa e a saída do tubo) que determinam a velocidade do jato. Como essa figura NÃO foi enviada, não conhecemos os valores numéricos de altura
Vou, então, (i) apresentar a dedução passo a passo e didática da fórmula que dá o tempo em função de
Passo 2
Converter unidades e calcular a área da seção do tubo.
O diâmetro do tubo é , portanto o raio é
O diâmetro do tubo é
A área da seção transversal do tubo é a área do círculo:
O volume do copo é
Passo 3
Explicar por que a velocidade do jato depende da altura e deduzir a fórmula (Torricelli).
Intuição física fácil: a água na garrafa tem energia potencial devido à altura da superfície livre em relação à saída do tubo; ao sair a água converte essa energia potencial em energia cinética. Para um fluido ideal (sem atrito interno significativo), aplica-se o princípio de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a saída do tubo (ponto 2). Fazendo as simplificações usuais — pressões iguais em 1 e 2 (ambas atmosféricas) e velocidade desprezível da superfície livre em comparação com a velocidade de saída — obtemos a Lei de Torricelli:
Intuição física fácil: a água na garrafa tem energia potencial devido à altura da superfície livre em relação à saída do tubo; ao sair a água converte essa energia potencial em energia cinética. Para um fluido ideal (sem atrito interno significativo), aplica-se o princípio de Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e a saída do tubo (ponto 2). Fazendo as simplificações usuais — pressões iguais em 1 e 2 (ambas atmosféricas) e velocidade desprezível da superfície livre em comparação com a velocidade de saída — obtemos a Lei de Torricelli:
onde:
-
é a velocidade de saída do jato (em se usarmos para alturas), -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a diferença de nível entre a superfície livre da água e o ponto de saída do tubo (em ).
Explicação passo a passo: Bernoulli dá
. Tomando
,
e
, obtemos
, daí
.
Passo 4
Relacionar vazão volumétrica e tempo.
A vazão volumétrica (volume por segundo) que sai pelo tubo é
A vazão volumétrica (volume por segundo) que sai pelo tubo é
O tempo necessário para encher o copo de volume
é
Aqui:
-
em segundos, -
em , -
em , -
em , -
em .
Passo 5
Substituir
e
conhecidos para obter a fórmula prática.
Substituindo e
na fórmula de
:
Substituindo
Usando
podemos calcular a constante numérica que multiplica
. Calculemos passo a passo:
Então
Portanto
onde
está em segundos e
em centímetros. Ou seja, a forma prática é
Passo 6
Aplicar às duas situações pedidas e explicar o que falta para obter números.
a) Garrafa cheia: aqui é a altura entre a superfície da água (quando a garrafa está cheia) e a saída do tubo. Denotaremos essa altura por
. O tempo mínimo é
a) Garrafa cheia: aqui
b) Garrafa quase vazia: aqui a superfície da água está muito baixa; denotamos a pequena altura remanescente por
. O tempo mínimo é
Observação importante: como
, então
— ou seja, encher o copo demora mais quando a garrafa está quase vazia.
Passo 7
Exemplos numéricos (apenas para intuir ordens de grandeza; são exemplos assumindo alturas plausíveis; não substituem os valores da figura).
- Exemplo 1: se
, então
- Exemplo 2: se a garrafa estiver quase vazia com
, então
Esses exemplos mostram bem a sensibilidade do tempo à raiz de
.
Passo 8
Limitações e observações finais práticas (o que pode alterar os números na prova ou experimento).
- Assumi fluido ideal (sem perdas por atrito). Em tubos longos e estreitos pode haver perdas por viscosidade que reduzem a velocidade real — isso faria o tempo ser maior; um coeficiente de descarga
pode ser multiplicado em (ou seja, ). - Assumi que a saída está no mesmo nível e o ar entra livremente na garrafa (sem vácuo). Em garrafas com saída única rígida, fenômenos de “aspas” podem reduzir a vazão quando o nível cai.
- Em problemas de prova normalmente espera-se a aplicação direta de Torricelli como fiz aqui.
Resposta
a)
(s), com
em cm.\n
b) (s), com
em cm.
b)