Um bocal do tipo venturi é calibrado em um laboratório com água. O diâmetro do tubo é 5,5 \mathrm{~cm}, e o da garganta é 3,5 \mathrm{~cm}. A vazão é medida por meio de um tanque de pesagem e a queda de pressão por meio de um manômetro de mercúrio. Obtenha a curva de calibração desse medidor venturi.
\mathrm{w}(\mathrm{kg} / \mathrm{s}) 0,95 1,98 2,99 5,06 8,15
\mathrm{H}(\mathrm{mm}) 3,7 15,9 36,2 102,4 264,4

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (peguei os valores da tabela do enunciado):
  • Diâmetro do tubo maior: d_1 = 5{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}055\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro da garganta: d_2 = 3{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}035\\ \mathrm{m}.
  • Medições experimentais (vazão mássica w em \mathrm{kg/s} e diferença de nível do manômetro H em \mathrm{mm}):
    • w=0{,}95,\\ H=3{,}7
    • w=1{,}98,\\ H=15{,}9
    • w=2{,}99,\\ H=36{,}2
    • w=5{,}06,\\ H=102{,}4
    • w=8{,}15,\\ H=264{,}4
  • Constantes físicas (valores usuais que usarei): massa específica da água \rho_w = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, massa específica do mercúrio \rho_{Hg} = 13600\\ \mathrm{kg/m^3}, aceleração da gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o problema pede: “obter a curva de calibração desse medidor venturi”, isto é, uma relação prática que permita obter a vazão w a partir da leitura H do manômetro. Vou encontrar a forma funcional teórica e então ajustar/comparar com os dados experimentais para obter a constante de calibração.

Passo 2

Entender a física e as fórmulas essenciais (explicação didática e passo a passo).
  • Continuidade (conservação de massa) em regime permanente para fluido incompressível: a vazão volumétrica Q é a mesma nas duas seções. A vazão mássica w relaciona-se com a velocidade média v por
w = \rho_w Q = \rho_w A v,
onde A é a área da seção e v é a velocidade média nessa seção. Assim, as velocidades nas seções 1 (tubo maior) e 2 (garganta) são
v_1 = \frac{w}{\rho_w A_1},\qquad v_2 = \frac{w}{\rho_w A_2}.
  • Bernoulli entre pontos 1 e 2 (desprezando perdas adicionais e variações de altura entre os pontos):
p_1 + \tfrac12 \rho_w v_1^2 = p_2 + \tfrac12 \rho_w v_2^2.
Daí a diferença de pressão dinâmica entre entrada e garganta é
\Delta p \equiv p_1 - p_2 = \tfrac12 \rho_w\bigl(v_2^2 - v_1^2\bigr).
  • Como o manômetro de mercúrio foi usado, a leitura H (altura em metros) se relaciona com a diferença de pressão por equilíbrio hidrostático (mostrarei por que):
    Considere as colunas de fluido na U-tubo com mercúrio e água nos ramos apropriados; a diferença de pressão entre as tomadas em 1 e 2 gera um desnível H na coluna do manômetro. O resultado padrão para uma tomada de água em ambos os ramos com mercúrio no interior é
\Delta p = (\rho_{Hg} - \rho_w)\,g\,H,
onde H deve ser usado em metros. (Isto vem de igualar as pressões ao longo do fluido no manômetro: a coluna adicional de mercúrio sustenta a diferença de pressão entre as tomadas de água.)

Passo 3

Combinar as fórmulas para obter a relação entre w e H.
Substituindo v_1 e v_2 (da continuidade) na expressão de \Delta p obtém-se:
\Delta p = \tfrac12 \rho_w\!\left(\left(\frac{w}{\rho_w A_2}\right)^{\!2} - \left(\frac{w}{\rho_w A_1}\right)^{\!2}\right) = \frac{w^{2}}{2\rho_w}\!\left(\frac{1}{A_2^{2}} - \frac{1}{A_1^{2}}\right).
Usando \Delta p = (\rho_{Hg}-\rho_w)gH temos
(\rho_{Hg}-\rho_w)gH = \frac{w^{2}}{2\rho_w}\!\left(\frac{1}{A_2^{2}} - \frac{1}{A_1^{2}}\right).
Isolando w,
w = \sqrt{ \frac{2\rho_w(\rho_{Hg}-\rho_w)g}{\displaystyle\frac{1}{A_2^{2}} - \displaystyle\frac{1}{A_1^{2}}}\;H }.
Essa é a expressão ideal (sem perdas). Na prática existe um coeficiente de descarga C (menor que 1) que corrige para atritos e efeitos reais, então a lei prática de calibração normalmente é
w = C\;K_0\;\sqrt{H},
onde
K_0 = \sqrt{ \frac{2\rho_w(\rho_{Hg}-\rho_w)g}{\displaystyle\frac{1}{A_2^{2}} - \displaystyle\frac{1}{A_1^{2}}} }.
Mais didático: isto mostra que, teoricamente, w é proporcional a \sqrt{H}; então plotando w versus \sqrt{H} obtém-se uma reta cujo coeficiente fornece a calibração experimental K_{\text{exp}} = C K_0.

Passo 4

Calcular as áreas das duas seções (passo a passo).
  • Área da seção circular: A = \dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Para d_1 = 0{,}055\\ \mathrm{m}:
A_1 = \frac{\pi (0{,}055)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}00075625 \approx 0{,}00237613\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Para d_2 = 0{,}035\\ \mathrm{m}:
A_2 = \frac{\pi (0{,}035)^{2}}{4} = \pi\cdot 0{,}00030625 \approx 0{,}00096211\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular o fator geométrico \displaystyle\frac{1}{A_2^{2}}-\frac{1}{A_1^{2}}.
  • Primeiro os recíprocos:
\frac{1}{A_2}\approx \frac{1}{0{,}00096211}\approx 1039{,}52\\ \mathrm{m^{-2}},\qquad \frac{1}{A_1}\approx \frac{1}{0{,}00237613}\approx 420{,}68\\ \mathrm{m^{-2}}.
  • Agora os quadrados e diferença:
\frac{1}{A_2^{2}}-\frac{1}{A_1^{2}} \approx (1039{,}52)^{2} - (420{,}68)^{2} \approx 1{,}080{,}590{,}6 - 176{,}969{,}98 \approx 903{,}620{,}6\\ \mathrm{m^{-4}}.

Passo 6

Calcular K_0 (constante ideal) numericamente:
  • Numerador dentro da raiz:
2\rho_w(\rho_{Hg}-\rho_w)g = 2\cdot 1000\cdot(13600-1000)\cdot 9{,}81 = 247\,212\,000\\ \text{(unidades)}.
  • Dividindo pelo fator geométrico e extraindo a raiz:
K_0 = \sqrt{\frac{247\,212\,000}{903\,620{,}6}} \approx \sqrt{273{,}579{,}4}\approx 16{,}536\\ \frac{\mathrm{kg/s}}{\sqrt{\mathrm{m}}}.
Interpretação: no modelo ideal (sem perdas) teríamos w \approx 16{,}536\sqrt{H} com H em metros.

Passo 7

Calcular os valores experimentais de \sqrt{H} (com H em metros) e os respectivos coeficientes de descarga pontuais C_i.
  • Converter H de \mathrm{mm} para \mathrm{m}: H[\mathrm{m}] = H[\mathrm{mm}]\times 10^{-3}.
    • H_1 = 3{,}7\\ \mathrm{mm} = 0{,}0037\\ \mathrm{m},\\ \sqrt{H_1}\approx 0{,}06084.
    • H_2 = 15{,}9\\ \mathrm{mm} = 0{,}0159\\ \mathrm{m},\\ \sqrt{H_2}\approx 0{,}12606.
    • H_3 = 36{,}2\\ \mathrm{mm} = 0{,}0362\\ \mathrm{m},\\ \sqrt{H_3}\approx 0{,}19053.
    • H_4 = 102{,}4\\ \mathrm{mm} = 0{,}1024\\ \mathrm{m},\\ \sqrt{H_4}\approx 0{,}31990.
    • H_5 = 264{,}4\\ \mathrm{mm} = 0{,}2644\\ \mathrm{m},\\ \sqrt{H_5}\approx 0{,}51428.
  • Calcular o valor teórico ideal w_{\text{ideal}} = K_0\sqrt{H} e o coeficiente de descarga pontual C_i = \dfrac{w_{\text{medido}}}{w_{\text{ideal}}}:
    • Para H_1: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}06084 \approx 1{,}006\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_1 = 0{,}95/1{,}006 \approx 0{,}944.
    • Para H_2: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}12606 \approx 2{,}0845\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_2 \approx 1{,}98/2{,}0845 \approx 0{,}950.
    • Para H_3: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}19053 \approx 3{,}1506\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_3 \approx 2{,}99/3{,}1506 \approx 0{,}949.
    • Para H_4: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}31990 \approx 5{,}2899\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_4 \approx 5{,}06/5{,}2899 \approx 0{,}958.
    • Para H_5: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}51428 \approx 8{,}5045\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_5 \approx 8{,}15/8{,}5045 \approx 0{,}958.
Observação didática: esses C_i mostram que o medidor perde cerca de 4{,}5\% a 5{,}6\% em relação ao ideal e que o coeficiente é bastante estável com a vazão — isso é típico de um venturi, que tem perdas relativamente constantes em faixa de operação.

Passo 8

Determinar a calibração experimental (constante prática) a partir dos dados: calcular K_{\text{exp}} = \dfrac{w}{\sqrt{H}} para cada ponto e a média.
  • Valores k_i = w_i/\sqrt{H_i}:
    • k_1 \approx 0{,}95/0{,}06084 \approx 15{,}617\\ \mathrm{kg/s}/\sqrt{\mathrm{m}}.
    • k_2 \approx 1{,}98/0{,}12606 \approx 15{,}715.
    • k_3 \approx 2{,}99/0{,}19053 \approx 15{,}700.
    • k_4 \approx 5{,}06/0{,}31990 \approx 15{,}820.
    • k_5 \approx 8{,}15/0{,}51428 \approx 15{,}850.
  • Média (constante de calibração):
K_{\text{exp}} = \frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5} k_i \approx \frac{15{,}617+15{,}715+15{,}700+15{,}820+15{,}850}{5} \approx 15{,}740\\ \mathrm{kg/s}/\sqrt{\mathrm{m}}.
  • Desvio padrão (medida rápida da dispersão) calculado a partir dos k_i dá aproximadamente \pm 0{,}095. Portanto a calibração experimental é estável com variação pequena.
  • Relação entre K_{\text{exp}} e K_0:
C_{\text{médio}} = \frac{K_{\text{exp}}}{K_0} \approx \frac{15{,}740}{16{,}536}\approx 0{,}952.é
Isto confirma que o fator de descarga médio é cerca de 0{,}952.

Passo 9

Interpretação prática e como usar a curva de calibração na prova (resumo didático).
  • Resultado importante a decorar/usar: experimentalmente a vazão mássica comporta-se como proporcional à raiz quadrada da leitura do manômetro:
w \approx K_{\text{exp}}\sqrt{H},
com K_{\text{exp}}\approx 15{,}740\\ \mathrm{kg/s}/\sqrt{\mathrm{m}} e H em metros.
  • Alternativa prático-uso (se o enunciado der H em \mathrm{mm} como na tabela): pode-se escrever uma forma conveniente usando H em \mathrm{mm}. Como \sqrt{H[\mathrm{m}]}=\sqrt{H[\mathrm{mm}]\cdot 10^{-3}}=0{,}03162278\sqrt{H[\mathrm{mm}]}, obtemos
w \approx 0{,}4977\\ \sqrt{H\\ [\mathrm{mm}]}\quad\text{(kg/s)}.
  • Em termos do coeficiente de descarga médio: C_{\text{médio}}\approx 0{,}952é. Assim, se preferir usar a expressão ideal corrigida:
w \approx C_{\text{médio}}\;K_0\;\sqrt{H},\quad C_{\text{médio}}\approx 0{,}952.éé

Resposta

\displaystyle w = 15{,}740\\ \sqrt{H}\quad\text{(kg/s, com \(H em metros)})
\displaystyle C_{\text{médio}} = 0{,}952é

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