Um bocal do tipo venturi é calibrado em um laboratório com água. O diâmetro do tubo é 5,5 \mathrm{~cm}, e o da garganta é 3,5 \mathrm{~cm}. A vazão é medida por meio de um tanque de pesagem e a queda de pressão por meio de um manômetro de mercúrio. Obtenha a curva de calibração desse medidor venturi.
\mathrm{w}(\mathrm{kg} / \mathrm{s})
0,95
1,98
2,99
5,06
8,15
\mathrm{H}(\mathrm{mm})
3,7
15,9
36,2
102,4
264,4
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (peguei os valores da tabela do enunciado):
Diâmetro da garganta: d_2 = 3{,}5\\ \mathrm{cm} = 0{,}035\\ \mathrm{m}.
Medições experimentais (vazão mássica w em \mathrm{kg/s} e diferença de nível do manômetro H em \mathrm{mm}):
w=0{,}95,\\ H=3{,}7
w=1{,}98,\\ H=15{,}9
w=2{,}99,\\ H=36{,}2
w=5{,}06,\\ H=102{,}4
w=8{,}15,\\ H=264{,}4
Constantes físicas (valores usuais que usarei): massa específica da água \rho_w = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}, massa específica do mercúrio \rho_{Hg} = 13600\\ \mathrm{kg/m^3}, aceleração da gravidade g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o problema pede: “obter a curva de calibração desse medidor venturi”, isto é, uma relação prática que permita obter a vazão w a partir da leitura H do manômetro. Vou encontrar a forma funcional teórica e então ajustar/comparar com os dados experimentais para obter a constante de calibração.
Passo 2
Entender a física e as fórmulas essenciais (explicação didática e passo a passo).
Continuidade (conservação de massa) em regime permanente para fluido incompressível: a vazão volumétrica Q é a mesma nas duas seções. A vazão mássica w relaciona-se com a velocidade média v por
w = \rho_w Q = \rho_w A v,
onde A é a área da seção e v é a velocidade média nessa seção. Assim, as velocidades nas seções 1 (tubo maior) e 2 (garganta) são
Como o manômetro de mercúrio foi usado, a leitura H (altura em metros) se relaciona com a diferença de pressão por equilíbrio hidrostático (mostrarei por que):
Considere as colunas de fluido na U-tubo com mercúrio e água nos ramos apropriados; a diferença de pressão entre as tomadas em 1 e 2 gera um desnível H na coluna do manômetro. O resultado padrão para uma tomada de água em ambos os ramos com mercúrio no interior é
\Delta p = (\rho_{Hg} - \rho_w)\,g\,H,
onde H deve ser usado em metros. (Isto vem de igualar as pressões ao longo do fluido no manômetro: a coluna adicional de mercúrio sustenta a diferença de pressão entre as tomadas de água.)
Passo 3
Combinar as fórmulas para obter a relação entre w e H.
Substituindo v_1 e v_2 (da continuidade) na expressão de \Delta p obtém-se:
w = \sqrt{ \frac{2\rho_w(\rho_{Hg}-\rho_w)g}{\displaystyle\frac{1}{A_2^{2}} - \displaystyle\frac{1}{A_1^{2}}}\;H }.
Essa é a expressão ideal (sem perdas). Na prática existe um coeficiente de descarga C (menor que 1) que corrige para atritos e efeitos reais, então a lei prática de calibração normalmente é
Mais didático: isto mostra que, teoricamente, w é proporcional a \sqrt{H}; então plotando w versus \sqrt{H} obtém-se uma reta cujo coeficiente fornece a calibração experimental K_{\text{exp}} = C K_0.
Passo 4
Calcular as áreas das duas seções (passo a passo).
Calcular o valor teórico ideal w_{\text{ideal}} = K_0\sqrt{H} e o coeficiente de descarga pontual C_i = \dfrac{w_{\text{medido}}}{w_{\text{ideal}}}:
Para H_1: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}06084 \approx 1{,}006\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_1 = 0{,}95/1{,}006 \approx 0{,}944.
Para H_2: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}12606 \approx 2{,}0845\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_2 \approx 1{,}98/2{,}0845 \approx 0{,}950.
Para H_3: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}19053 \approx 3{,}1506\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_3 \approx 2{,}99/3{,}1506 \approx 0{,}949.
Para H_4: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}31990 \approx 5{,}2899\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_4 \approx 5{,}06/5{,}2899 \approx 0{,}958.
Para H_5: w_{\text{ideal}} \approx 16{,}536\cdot 0{,}51428 \approx 8{,}5045\\ \mathrm{kg/s}. Assim C_5 \approx 8{,}15/8{,}5045 \approx 0{,}958.
Observação didática: esses C_i mostram que o medidor perde cerca de 4{,}5\% a 5{,}6\% em relação ao ideal e que o coeficiente é bastante estável com a vazão — isso é típico de um venturi, que tem perdas relativamente constantes em faixa de operação.
Passo 8
Determinar a calibração experimental (constante prática) a partir dos dados: calcular K_{\text{exp}} = \dfrac{w}{\sqrt{H}} para cada ponto e a média.
Desvio padrão (medida rápida da dispersão) calculado a partir dos k_i dá aproximadamente \pm 0{,}095. Portanto a calibração experimental é estável com variação pequena.
Isto confirma que o fator de descarga médio é cerca de 0{,}952.
Passo 9
Interpretação prática e como usar a curva de calibração na prova (resumo didático).
Resultado importante a decorar/usar: experimentalmente a vazão mássica comporta-se como proporcional à raiz quadrada da leitura do manômetro:
w \approx K_{\text{exp}}\sqrt{H},
com K_{\text{exp}}\approx 15{,}740\\ \mathrm{kg/s}/\sqrt{\mathrm{m}} e H em metros.
Alternativa prático-uso (se o enunciado der H em \mathrm{mm} como na tabela): pode-se escrever uma forma conveniente usando H em \mathrm{mm}. Como \sqrt{H[\mathrm{m}]}=\sqrt{H[\mathrm{mm}]\cdot 10^{-3}}=0{,}03162278\sqrt{H[\mathrm{mm}]}, obtemos
w \approx 0{,}4977\\ \sqrt{H\\ [\mathrm{mm}]}\quad\text{(kg/s)}.
Em termos do coeficiente de descarga médio: C_{\text{médio}}\approx 0{,}952é. Assim, se preferir usar a expressão ideal corrigida:
w \approx C_{\text{médio}}\;K_0\;\sqrt{H},\quad C_{\text{médio}}\approx 0{,}952.éé
Resposta
\displaystyle w = 15{,}740\\ \sqrt{H}\quad\text{(kg/s, com \(H em metros)}) \displaystyle C_{\text{médio}} = 0{,}952é