Resolva o problema \min _{\mathbf{x}}\left(x_{1}-x_{2}\right) sujeito a x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}=1. Resolva também eliminando a restrição escrevendo uma variável em relação a outra.
Passo 1
O enunciado pede minimizar a função objetivo \,x_{1}-x_{2}\, sujeita à restrição \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
Informações relevantes fornecidas:
A variável a minimizar é o par (x_{1},x_{2})\in\mathbb{R}^{2}.
A restrição é a equação do círculo unitário: \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.
Queremos o ponto (x_{1},x_{2}) sobre esse círculo que torna \,x_{1}-x_{2}\, o menor possível.
Além de resolver por multiplicadores de Lagrange, o enunciado pede também resolver eliminando a restrição escrevendo uma variável em função da outra (ou seja, substituição).
Passo 2
Vou resolver primeiro usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Antes de aplicar, uma breve explicação didática e prática do método:
Quando queremos otimizar uma função f(x_{1},x_{2}) sujeita a uma restrição g(x_{1},x_{2})=0, o método diz que, em pontos extremos restritos (interiores ao conjunto de restrição suave), os gradientes são proporcionais:
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Intuitivamente, isso significa que a direção em que f cresce mais rapidamente (seu gradiente) é paralela à direção que mantém g constante — daí a proporcionalidade.
Aqui f(x_{1},x_{2})=x_{1}-x_{2} e g(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1 (escrevemos g=0 para a restrição).
Comparando, -\sqrt{2} < \sqrt{2}, então o mínimo ocorre em \displaystyle\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
com valor mínimo -\sqrt{2}.
Passo 4
Agora resolve-se eliminando a restrição escrevendo uma variável em função da outra. Há duas formas naturais; eu mostro a substituição direta com raiz (que o enunciado pediu) e uma observação alternativa com parametrização trigonométrica (útil para intuição).
Método de eliminação (substituição direta):
Da restrição \,x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1, isolamos x_{2}:
que é o máximo. Nos extremos obtemos novamente \pm1, não menores que -\sqrt{2}.
Conclusão desse método: o mínimo global sobre o círculo é -\sqrt{2} atingido em \displaystyle\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right), confirmando o resultado do método de Lagrange.
Observação alternativa (parametrização trigonométrica, para intuição rápida):
Parametrizando o círculo por \,x_{1}=\cos\theta,\;x_{2}=\sin\theta, a função vira
O mínimo de \cos é -1, então o mínimo de f é -\sqrt{2}, atingido quando \theta+\dfrac{\pi}{4}=\pi, i.e. \theta=\dfrac{3\pi}{4}, que dá \displaystyle x_{1}=\cos\dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2},\; x_{2}=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
mesmo ponto encontrado antes.