Resolva o problema \min _{\mathbf{x}}\left(x_{1}-1\right)^{2}+\left(x_{2}-2\right)^{2} sujeito a \left(x_{1}-1\right)^{2}=x_{2}. Para isso, elimine uma das variáveis usando a restrição e resolva o problema de otimização irrestrita. Use as condições de KKT para verificar os pontos encontrados. Mostre graficamente que esse problema representa a determinação da menor distância do ponto ( 1,2 ) à parábola y=(x-1)^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • O problema é minimizar a função objetivo
\varphi(\mathbf{x})=(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}
sob a restrição de igualdade
(x_{1}-1)^{2}=x_{2}.
  • Pedidos do enunciado:
    1. Eliminar uma das variáveis usando a restrição e resolver o problema de otimização irrestrita resultante.
    2. Usar as condições de KKT para verificar os pontos críticos encontrados.
    3. Mostrar graficamente (em argumento) que o problema é encontrar a menor distância do ponto (1,2) à parábola y=(x-1)^{2}.
  • Informação útil extraída do enunciado:
    • A restrição é uma igualdade que relaciona x_{1} e x_{2}.
    • A função objetivo é a soma de quadrados das diferenças em cada coordenada em relação ao ponto (1,2).
A partir daqui começo a resolver.

Passo 2

Interpretação geométrica rápida (útil para a intuição).
  • A função objetivo é exatamente o quadrado da distância euclidiana entre (x_{1},x_{2}) e o ponto (1,2). Explico isso: \varphi(\mathbf{x})=(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}é a distância ao quadrado entre (x_{1},x_{2}) e (1,2) porque a distância euclidiana é \sqrt{(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}}. Minimizar a distância é equivalente a minimizar seu quadrado (não muda o ponto minimizador), e trabalhar com o quadrado evita raízes, o que é mais simples analiticamente.
Portanto o problema equivale a: "encontrar o(s) ponto(s) da parábola x_{2}=(x_{1}-1)^{2} que estão mais próximos do ponto (1,2)".

Passo 3

Eliminação de variável usando a restrição e redução para um problema em uma variável.
  • A restrição dá explicitamente x_{2}=(x_{1}-1)^{2}.Assim substituo na função objetivo para obter uma função de x_{1} só. Faço uma mudança de variável auxiliar para simplificar a álgebra: seja s := x_{1}-1.Então x_{2}=s^{2} e a função objetivo, agora como função de s, fica f(s)=s^{2}+(s^{2}-2)^{2}.Vou simplificar essa expressão por etapas: f(s)=s^{2} + \bigl(s^{2}-2\bigr)^{2} = s^{2} + \bigl(s^{4} -4s^{2} +4\bigr) = s^{4} -3s^{2} +4.Outra forma útil (que usarei para encontrar o mínimo facilmente) é introduzir u:=s^{2}\ge 0. Então f(s)=u + (u-2)^{2} = u^{2} -3u +4,com u\ge 0. Essa mudança para u é vantajosa porque transforma o problema numa minimização de um polinômio quadrático em u com restrição simples u\ge 0.

Passo 4

Resolver o problema irrestrito (na prática, resolver em u\ge 0).
  • Considere g(u)=u^{2}-3u+4 para u\ge 0. Para minimizar um polinômio quadrático, derivamos e igualamos a zero:
    g'(u)=2u-3.
    Igualando a zero,
    2u-3=0 \quad\Rightarrow\quad u=\frac{3}{2}.
    Esse u é viável porque u=\tfrac{3}{2}\ge 0. Verifico que é mínimo porque
    g''(u)=2>0,
    então g é convexa e o ponto crítico é um mínimo global em [0,\infty).
  • Valor mínimo correspondente:
    g\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}-3\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)+4=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}+4=\tfrac{7}{4}.
    Logo o valor mínimo da função objetivo (distância ao quadrado) é \tfrac{7}{4}. A distância mínima (não ao quadrado) é \sqrt{\tfrac{7}{4}}=\tfrac{\sqrt{7}}{2}.
  • Recupere s e x_{1},x_{2}:
    s^{2}=u=\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad s=\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
    Como s=x_{1}-1, obtemos os dois pontos na parábola:
    x_{1}=1\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}},\qquad x_{2}=s^{2}=\tfrac{3}{2}.
    Portanto há dois pontos simetricamente posicionados em relação a x_{1}=1 que minimizam a distância ao ponto (1,2).

Passo 5

Resolver pela derivada direta em s (verificação alternativa).
  • Para confirmar, calculo f'(s) a partir de f(s)=s^{4}-3s^{2}+4: f'(s)=4s^{3}-6s = 2s(2s^{2}-3).Zeros: s=0 ou 2s^{2}-3=0\Rightarrow s^{2}=\tfrac{3}{2}, que dá exatamente s=0 e s=\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}. Avaliando f nesses pontos: f(0)=4,\qquad f\!\bigl(\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr)=\tfrac{7}{4}.Assim os dois pontos com s=\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}} são mínimos (menor valor), e s=0 é um outro ponto crítico com valor maior.

Passo 6

Aplicar as condições de KKT (Lagrange) e verificar os pontos críticos obtidos.
  • Como a restrição é de igualdade, as condições de KKT tornam-se as condições de Lagrange. Defino a Lagrangiana \mathcal{L}(x_{1},x_{2},\lambda)=(x_{1}-1)^{2}+(x_{2}-2)^{2}+\lambda\bigl((x_{1}-1)^{2}-x_{2}\bigr).As condições de estacionaridade são as derivadas parciais nulas: \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{1}}=2(x_{1}-1)+\lambda\cdot 2(x_{1}-1)=2(x_{1}-1)(1+\lambda)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_{2}}=2(x_{2}-2)-\lambda=0,
e a primal feasibility (restrição) é
(x_{1}-1)^{2}=x_{2}.
  • Vou resolver o sistema:
    • Da primeira equação temos duas possibilidades:
      1. x_{1}=1.
      2. 1+\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-1.
    • Caso 1: x_{1}=1. Pela restrição, x_{2}=0. Substituindo na segunda equação:
      2(0-2)-\lambda=-4-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-4.
      Assim obtemos o ponto crítico (x_{1},x_{2})=(1,0) com \lambda=-4. Avaliando a função objetivo dá \varphi(1,0)=4. Esse é o ponto com s=0 encontrado no Passo 5.
    • Caso 2: \lambda=-1. Pela segunda equação:
      2(x_{2}-2)-(-1)=2(x_{2}-2)+1=0 \Rightarrow x_{2}-2=-\tfrac{1}{2}\Rightarrow x_{2}=\tfrac{3}{2}.
      Pela restrição (x_{1}-1)^{2}=x_{2}=\tfrac{3}{2}, obtemos
      x_{1}=1\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}}.
      Esses são exatamente os dois pontos achados antes. O multiplicador vale \lambda=-1 para ambos e o valor objetivo é \varphi=\tfrac{7}{4}.
  • Classificação (usando argumentos já feitos):
    • Os pontos com x_{1}=1\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,x_{2}=\tfrac{3}{2} são mínimos (valor \tfrac{7}{4}).
    • O ponto (1,0) é um ponto crítico com valor maior (4); examinando a curvatura ao longo da parábola ele é um máximo local (ou melhor: um ponto estacionário que não é mínimo — a expansão de f(s) perto de s=0 tem termo -3s^{2}, mostrando que f diminui ao se afastar de s=0, então s=0 é um máximo local ao longo da curva).

Passo 7

Interpretação gráfica (como mostrar graficamente sem desenhar: descrição do argumento visual e condição geométrica).
  • A expressão da função objetivo sendo o quadrado da distância do ponto (x_{1},x_{2}) ao ponto fixo (1,2) já mostra que estamos procurando o(s) ponto(s) da curva x_{2}=(x_{1}-1)^{2} que minimizam essa distância.
  • Geometricamente, os pontos mais próximos do ponto externo (1,2) são aqueles em que o vetor que liga o ponto na parábola ao ponto (1,2) é ortogonal à tangente da parábola naquele ponto. Em termos analíticos: se parametrize a parábola por x_{1}=1+s,\;x_{2}=s^{2}, a condição de ortogonalidade entre o vetor (1-(1+s),\,2-s^{2})=(-s,\,2-s^{2}) e o vetor tangente (1,\,2s) resulta precisamente nas equações que levaram a s=0 ou s^{2}=\tfrac{3}{2} (as soluções KKT). Desse modo os pontos (1\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}},\tfrac{3}{2}) são onde a normal da parábola passa por (1,2) — ponto geométrico clássico da construção do ponto mais próximo.
  • Observação visual útil: a parábola y=(x-1)^{2} abre para cima, passa por (1,0); o ponto (1,2) está acima do vértice. As duas soluções simétricas estão na mesma altura y=\tfrac{3}{2} (linha horizontal y=\tfrac{3}{2} corta a parábola em duas abscissas iguais em módulo), e são os pontos de tangente normal que minimizam a distância ao ponto (1,2).

Resposta

Pontos minimizadores: \displaystyle\bigl(1\pm\sqrt{\tfrac{3}{2}},\\ \tfrac{3}{2}\bigr) com valor mínimo da função objetivo \displaystyle \tfrac{7}{4} (distância mínima \displaystyle \tfrac{\sqrt{7}}{2}).
Outro ponto crítico: (1,0) com valor \displaystyle 4 (ponto estacionário que não é mínimo, é máximo local ao longo da parábola).

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