Resolva o problema
sujeito a
. Para isso, elimine uma das variáveis usando a restrição e resolva o problema de otimização irrestrita. Use as condições de KKT para verificar os pontos encontrados. Mostre graficamente que esse problema representa a determinação da menor distância do ponto ( 1,2 ) à parábola
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
- O problema é minimizar a função objetivo
sob a restrição de igualdade
-
Pedidos do enunciado:
- Eliminar uma das variáveis usando a restrição e resolver o problema de otimização irrestrita resultante.
- Usar as condições de KKT para verificar os pontos críticos encontrados.
- Mostrar graficamente (em argumento) que o problema é encontrar a menor distância do ponto
à parábola .
-
Informação útil extraída do enunciado:
- A restrição é uma igualdade que relaciona
e . - A função objetivo é a soma de quadrados das diferenças em cada coordenada em relação ao ponto
.
- A restrição é uma igualdade que relaciona
A partir daqui começo a resolver.
Passo 2
Interpretação geométrica rápida (útil para a intuição).
- A função objetivo é exatamente o quadrado da distância euclidiana entre
e o ponto . Explico isso: é a distância ao quadrado entre e porque a distância euclidiana é . Minimizar a distância é equivalente a minimizar seu quadrado (não muda o ponto minimizador), e trabalhar com o quadrado evita raízes, o que é mais simples analiticamente.
Portanto o problema equivale a: "encontrar o(s) ponto(s) da parábola
que estão mais próximos do ponto
".
Passo 3
Eliminação de variável usando a restrição e redução para um problema em uma variável.
- A restrição dá explicitamente
Assim substituo na função objetivo para obter uma função de só. Faço uma mudança de variável auxiliar para simplificar a álgebra: seja Então e a função objetivo, agora como função de , fica Vou simplificar essa expressão por etapas: Outra forma útil (que usarei para encontrar o mínimo facilmente) é introduzir . Então com . Essa mudança para é vantajosa porque transforma o problema numa minimização de um polinômio quadrático em com restrição simples .
Passo 4
Resolver o problema irrestrito (na prática, resolver em
).
-
Considere
para . Para minimizar um polinômio quadrático, derivamos e igualamos a zero: Igualando a zero,Esseé viável porque . Verifico que é mínimo porque entãoé convexa e o ponto crítico é um mínimo global em . -
Valor mínimo correspondente:Logo o valor mínimo da função objetivo (distância ao quadrado) é
. A distância mínima (não ao quadrado) é . -
Recupere
e : Como, obtemos os dois pontos na parábola: Portanto há dois pontos simetricamente posicionados em relação aque minimizam a distância ao ponto .
Passo 5
Resolver pela derivada direta em
(verificação alternativa).
- Para confirmar, calculo
a partir de : Zeros: ou , que dá exatamente e . Avaliando nesses pontos: Assim os dois pontos com são mínimos (menor valor), e é um outro ponto crítico com valor maior.
Passo 6
Aplicar as condições de KKT (Lagrange) e verificar os pontos críticos obtidos.
- Como a restrição é de igualdade, as condições de KKT tornam-se as condições de Lagrange. Defino a Lagrangiana
As condições de estacionaridade são as derivadas parciais nulas:
e a primal feasibility (restrição) é
-
Vou resolver o sistema:
-
Da primeira equação temos duas possibilidades:
-
. -
.
-
-
Caso 1:
. Pela restrição, . Substituindo na segunda equação: Assim obtemos o ponto críticocom . Avaliando a função objetivo dá . Esse é o ponto com encontrado no Passo 5. -
Caso 2:
. Pela segunda equação: Pela restrição, obtemos Esses são exatamente os dois pontos achados antes. O multiplicador valepara ambos e o valor objetivo é .
-
-
Classificação (usando argumentos já feitos):
- Os pontos com
são mínimos (valor ). - O ponto
é um ponto crítico com valor maior ; examinando a curvatura ao longo da parábola ele é um máximo local (ou melhor: um ponto estacionário que não é mínimo — a expansão de perto de tem termo , mostrando que diminui ao se afastar de , então é um máximo local ao longo da curva).
- Os pontos com
Passo 7
Interpretação gráfica (como mostrar graficamente sem desenhar: descrição do argumento visual e condição geométrica).
- A expressão da função objetivo sendo o quadrado da distância do ponto
ao ponto fixo já mostra que estamos procurando o(s) ponto(s) da curva que minimizam essa distância. - Geometricamente, os pontos mais próximos do ponto externo
são aqueles em que o vetor que liga o ponto na parábola ao ponto é ortogonal à tangente da parábola naquele ponto. Em termos analíticos: se parametrize a parábola por , a condição de ortogonalidade entre o vetor e o vetor tangente resulta precisamente nas equações que levaram a ou (as soluções KKT). Desse modo os pontos são onde a normal da parábola passa por — ponto geométrico clássico da construção do ponto mais próximo. - Observação visual útil: a parábola
abre para cima, passa por ; o ponto está acima do vértice. As duas soluções simétricas estão na mesma altura (linha horizontal corta a parábola em duas abscissas iguais em módulo), e são os pontos de tangente normal que minimizam a distância ao ponto .
Resposta
Pontos minimizadores:
com valor mínimo da função objetivo
(distância mínima
).
Outro ponto crítico: com valor
(ponto estacionário que não é mínimo, é máximo local ao longo da parábola).
Outro ponto crítico: