A body is loaded under a stress state \sigma_{x}=400, \sigma_{y}=100, \tau_{x y}=120, \tau_{y z}=\tau_{z x}= \sigma_{z}=0.
A. Sketch the Mohr’s circle diagram.
B. Calculate the principal stresses.
C. What is the largest shear stress in the body? (Do not neglect the z direction.)

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensão com as componentes (peguei tudo do enunciado):
  • \sigma_{x}=400,
  • \sigma_{y}=100,
  • \tau_{xy}=120,
  • \tau_{yz}=\tau_{zx}=0,
  • \sigma_{z}=0.
O que é pedido:
A. Fazer um esboço do diagrama de Mohr (ou descrever os círculos de Mohr apropriados).
B. Calcular as tensões principais.
C. Determinar a maior tensão de cisalhamento no corpo (não desprezando a direcção z).

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz do tensor de tensões (em coordenadas x,y,z) e entender o que significa procurar tensões principais. A matriz simétrica das tensões é
\boldsymbol{\sigma}= \begin{pmatrix} 400 & 120 & 0\\[4pt] 120 & 100 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Explicação didática: a procura das tensões principais equivale a encontrar os autovalores (eigenvalues) desse tensor. Autovalores são os valores \lambda tais que existe um vetor não-nulo \mathbf{v} com \boldsymbol{\sigma}\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}. Esses \lambda são as tensões normais em direcções principais, onde as tensões cisalhantes são zero.]

Passo 3

Observação útil e que simplifica bastante: as entradas de acoplamento com z são nulas ( \tau_{yz}=\tau_{zx}=0), e \sigma_{z}=0. Isso significa que o eixo z é já uma direcção principal: um vetor na direcção z é autovetor com autovalor 0. Portanto uma das tensões principais é imediatamente
\boxed{\sigma_3=0.}
Resta então encontrar as outras duas tensões principais resolvendo o problema reduzido no plano x\!-\!y.

Passo 4

Para as duas restantes tensões principais consideramos o bloco 2\times2
\begin{pmatrix}400 & 120\\[4pt]120 & 100\end{pmatrix}
e calculamos os autovalores \lambda pela equação característica
\det\!\begin{pmatrix}400-\lambda & 120\\[4pt]120 & 100-\lambda\end{pmatrix}=0.
Desenvolvendo o determinante obtemos a equação quadrática
(400-\lambda)(100-\lambda)-120^{2}=0.
Faço a conta passo a passo:
(400-\lambda)(100-\lambda)=400\cdot100 - (400+100)\lambda +\lambda^{2}=40000-500\lambda+\lambda^{2},
e 120^{2}=14400. Logo a equação é
\lambda^{2}-500\lambda+(40000-14400)=0,
ou seja
\lambda^{2}-500\lambda+25600=0.]

Passo 5

Agora resolvemos a quadrática. O discriminante é
D=500^{2}-4\cdot1\cdot25600=250000-102400=147600.
A raiz quadrada de D vale aproximadamente
\sqrt{147600}\approx384,1875.
As soluções são
\lambda=\frac{500\pm\sqrt{147600}}{2}.
Calculando numericamente:
\lambda_{1}=\frac{500+384,1875}{2}=442,09375,
\lambda_{2}=\frac{500-384,1875}{2}=57,90625.

Passo 6

Conclusão sobre tensões principais (ordeno do maior para o menor):
\boxed{\sigma_{1}=442,09375,\qquad \sigma_{2}=57,90625,\qquad \sigma_{3}=0.}
Breve interpretação: em direcções principais associadas a esses valores a componente cisalhante é zero; estas são as três tensões normais extremas do estado dado.

Passo 7

Agora o diagrama de Mohr em 3D. Explicação prática: em 3D formam-se três círculos de Mohr, correspondendo aos pares de tensões principais (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3) e (\sigma_3,\sigma_1). Para cada par (\sigma_i,\sigma_j) o centro do círculo é
c_{ij}=\frac{\sigma_i+\sigma_j}{2}
e o raio é
r_{ij}=\frac{|\sigma_i-\sigma_j|}{2}.
Calculo os centros e raios (uso os valores encontrados):
  • Para (\sigma_1,\sigma_2): c_{12}=\frac{442,09375+57,90625}{2}=250,\qquad r_{12}=\frac{442,09375-57,90625}{2}=192,09375.
  • Para (\sigma_2,\sigma_3): c_{23}=\frac{57,90625+0}{2}=28,953125,\qquad r_{23}=\frac{57,90625-0}{2}=28,953125.
  • Para (\sigma_3,\sigma_1): c_{31}=\frac{0+442,09375}{2}=221,046875,\qquad r_{31}=\frac{442,09375-0}{2}=221,046875.
Como esboçar o diagrama de Mohr (passo-a-passo prático):
  1. Desenhar eixos: eixo horizontal \sigma (tensão normal) e eixo vertical \tau (cisalhamento).
  2. Marcar na horizontal os centros c_{12}=250, c_{23}\approx28,953, c_{31}\approx221,047.
  3. Desenhar os três círculos com os raios calculados: o maior círculo é o (\sigma_3,\sigma_1) com centro 221,046875 e raio 221,046875 (ele se estende de \sigma=0 até \sigma=442,09375). Os outros dois círculos ficam aninhados conforme centros/raios acima.
    Observação: o maior círculo corresponde sempre ao par que envolve a maior e a menor tensão principal.

Passo 8

Maior tensão de cisalhamento em 3D. Regra (explicada): geometricamente no diagrama de Mohr 3D a maior tensão de cisalhamento absoluta é o raio do círculo que liga a maior e a menor tensão principal. Em fórmula:
\tau_{\max}=\frac{\sigma_{\max}-\sigma_{\min}}{2}.
Aqui \sigma_{\max}=\sigma_{1}=442,09375 e \sigma_{\min}=\sigma_{3}=0, então
\boxed{\tau_{\max}=\frac{442,09375-0}{2}=221,046875.}
Comentário útil: se alguém ignorasse a direcção z e fizesse apenas o Mohr plano entre x e y, obteria \tau=(\sigma_1-\sigma_2)/2\approx192,09375, que é menor do que a verdadeira maior tensão de cisalhamento tridimensional. Por isso o enunciado pede explicitamente para não desprezar z.

Resposta

A. Mohr: três círculos com pares (\sigma_1,\sigma_2), (\sigma_2,\sigma_3), (\sigma_3,\sigma_1); centros e raios numéricos: c_{12}=250,\\ r_{12}=192,09375;\\ c_{23}=28,953125,\\ r_{23}=28,953125;\\ c_{31}=221,046875,\\ r_{31}=221,046875.
B. \sigma_{1}=442,09375,\\ \sigma_{2}=57,90625,\\ \sigma_{3}=0.
C. \tau_{\max}=221,046875.

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