Consider an aluminum single crystal under a stress state σ_{x}=250 \mathrm{psi}, σ_{y}=-50 \mathrm{psi}, σ_{z}=τ_{y z}=τ_{z x}=τ_{x y}=0, where x=[100], y=[010], and z=[001].
What is the resolved shear stress, τ_{n d}, on the (111) plane in the 1 \overline{10} direction? that is, with n=[111], d=[1 \overline{10}]\[) ?\]

Passo 1

O enunciado dá um estado de tensão e pede a tensão de cisalhamento resolvida na combinação dada. Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Tensões principais (no sistema cristalino com eixos x=[100], y=[010], z=[001]): \sigma_{x}=250\\ \mathrm{psi},\qquad \sigma_{y}=-50\\ \mathrm{psi},\qquad \sigma_{z}=0\\ \mathrm{psi},e todas as tensões de cisalhamento são nulas: \tau_{yz}=\tau_{zx}=\tau_{xy}=0.
  • Plano e direção pedidos: n=[111],\qquad d=[1\\ \overline{1}\\\ 0].
Pergunta: qual é a tensão de cisalhamento resolvida \tau_{nd} sobre o plano de normal n na direção d?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo).
  • A tensão de cisalhamento resolvida ao longo de uma direção de deslizamento unitária \mathbf{s} sobre um plano com normal unitária \mathbf{n} é a componente da tração sobre esse plano na direção \mathbf{s}. Formalmente: \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n},onde \mathbf{t} é o vetor tração na superfície cuja normal é \mathbf{n}, e \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões (matriz).
  • A tensão de cisalhamento resolvida é então a projeção de \mathbf{t} sobre \mathbf{s}: \tau_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}=\mathbf{s}\cdot(\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}).
  • Importante: \mathbf{n} e \mathbf{s} devem ser vetores unitários. No nosso sistema de referência (eixos cristalográficos x,y,z) o tensor \boldsymbol{\sigma} é a matriz diagonal (já que só há tensões normais nas direções coordenadas): \boldsymbol{\sigma}=\begin{pmatrix} \sigma_x & 0 & 0\\[4pt] 0 & \sigma_y & 0\\[4pt] 0 & 0 & \sigma_z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 250 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -50 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ \mathrm{psi}.
Explicação intuitiva curta: primeiro encontra-se a força por área (tração) que age sobre o plano de normal \mathbf{n}, depois projeta-se essa tração na direção de deslizamento \mathbf{s} para obter a componente cortante que realmente provoca deslizamento.]

Passo 3

Calcular os vetores unitários \mathbf{n} e \mathbf{s} a partir dos índices dados.
  • O vetor de normal n=[111] corresponde ao vetor cartesiano (1,1,1). O seu módulo é \|\,(1,1,1)\,\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.Logo o vetor unitário normal é \mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • A direção d=[1\\ \overline{1}\\\ 0] corresponde ao vetor (1,-1,0). O seu módulo é \|\,(1,-1,0)\,\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.Logo o vetor unitário de deslizamento é \mathbf{s}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular a tração \mathbf{t}=\boldsymbol{\sigma}\,\mathbf{n}.
  • Multiplicando a matriz diagonal \boldsymbol{\sigma} pelo vetor \mathbf{n}: \mathbf{t}=\begin{pmatrix}250 & 0 & 0\\[4pt]0 & -50 & 0\\[4pt]0 & 0 & 0\end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}250\cdot 1 \\[4pt] -50\cdot 1 \\[4pt] 0\cdot 1\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}250\\[4pt]-50\\[4pt]0\end{pmatrix}\\ \mathrm{psi}.
  • Interpretação: sobre o plano com normal [111] a tração tem componentes normais e possíveis cisalhantes, aqui resultantes das diferenças \sigma_x,\sigma_y,\sigma_z.]

Passo 5

Calcular \tau_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t} efetuando o produto escalar.
  • Escrevendo tudo: \mathbf{s}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}250\\[4pt]-50\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Produto escalar: \tau_{nd}=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t} =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{1}{\sqrt{3}}\big(1\cdot 250 + (-1)\cdot (-50) + 0\cdot 0\big).
\tau_{nd}=\frac{1}{\sqrt{6}}\,(250+50)=\frac{300}{\sqrt{6}}\\ \mathrm{psi}.
  • Simplificando a forma exata: \frac{300}{\sqrt{6}}=\frac{300\sqrt{6}}{6}=50\sqrt{6}\\ \mathrm{psi}.
  • Valor numérico aproximado (usar vírgula como separador decimal): 50\sqrt{6}\approx 122,47\\ \mathrm{psi}.]

Passo 6

Interpretação final curta e dica de prova.
  • O sinal positivo indica que a componente da tração ao longo de [1\\ \overline{1}\\\ 0] na face de normal [111] é dirigida no sentido do vetor \mathbf{s} escolhido.
  • Dica prática para prova: sempre normalize n e d, calcule \mathbf{t}=\sigma n e depois faça \tau=\mathbf{s}\cdot\mathbf{t}. Se o tensor de tensões for diagonal isso simplifica muito — como aqui, onde só aparecem \sigma_x e \sigma_y.

Resposta

\tau_{nd}=50\sqrt{6}\\ \mathrm{psi}\approx 122,47\\ \mathrm{psi}

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