A bola chutada em A parte formando um ângulo \theta_{\mathrm{A}}=30^{\circ} com a horizontal. Se ela atinge o solo no ponto B de coordenada x=15 pés e y=-9 pés, determine os módulos da velocidade em A e em B.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos (peguei parte dos dados da figura enviada):
  • O enunciado pede os módulos da velocidade em A (velocidade inicial) e em B (no impacto).
  • Dados:
    • Ângulo de lançamento em A: \theta_{A}=30^\circ.
    • Coordenadas do ponto B: x_{B}=15\\ \mathrm{ft} e y_{B}=-9\\ \mathrm{ft} (estas coordenadas foram fornecidas no enunciado / figura).
    • A superfície mostrada na figura é descrita por y=-0{,}04x^{2} (isto está na imagem).
  • Constante de gravidade (valor padrão em pés): \displaystyle g=32\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Objetivo numérico: encontrar |\mathbf{V}_A| e |\mathbf{V}_B|.

Passo 2

Equações do movimento do projétil (explicando as variáveis e a ideia):
  • Escolhemos o eixo x horizontal e y vertical com origem em A (logo A tem (0,0)). O movimento é com aceleração (0,-g).
  • As componentes da velocidade inicial \mathbf{V}_A são: V_{Ax}=V_A\cos\theta_A,\qquad V_{Ay}=V_A\sin\theta_A,onde V_A é o módulo da velocidade em A (o que queremos) e \theta_A é o ângulo de lançamento.
  • As equações da posição em função do tempo t são: x(t)=V_{Ax}\,t = V_A\cos\theta_A\;t,
y(t)=V_{Ay}\,t-\tfrac{1}{2}g t^{2} = V_A\sin\theta_A\;t-\tfrac{1}{2}g t^{2}.
  • Estratégia para achar V_A: eliminar o tempo usando t=\dfrac{x_B}{V_A\cos\theta_A} (da igualdade x(t_B)=x_B) e impor y(t_B)=y_B. Assim obtemos uma equação para V_A.

Passo 3

Montar a equação para V_A e isolar V_A^{2} (álgebra passo a passo):
  • Substituindo t=\dfrac{x_B}{V_A\cos\theta_A} em y(t_B)=y_B temos y_B = V_A\sin\theta_A\cdot\frac{x_B}{V_A\cos\theta_A} - \frac{1}{2}g\left(\frac{x_B}{V_A\cos\theta_A}\right)^{2}.
  • Simplificando o primeiro termo ( \dfrac{V_A\sin\theta_A\;x_B}{V_A\cos\theta_A}=x_B\tan\theta_A), obtemos y_B = x_B\tan\theta_A - \frac{g x_B^{2}}{2 V_A^{2}\cos^{2}\theta_A}.
  • Isolando o termo com V_A^{2}: \frac{g x_B^{2}}{2 V_A^{2}\cos^{2}\theta_A} = x_B\tan\theta_A - y_B.
  • Portanto V_A^{2}=\frac{g x_B^{2}}{2\cos^{2}\theta_A\,(x_B\tan\theta_A - y_B)}.

Passo 4

Substituir os números e calcular V_A (mostrar cada valor intermediário):
  • Primeiro calculemos os valores trigonométricos: \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}57735,\qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}86603.
  • Calcular os termos do denominador: x_B\tan\theta_A - y_B = 15\cdot0{,}57735 - (-9) = 8{,}66025 + 9 = 17{,}66025.
2\cos^{2}\theta_A = 2(0{,}86603^{2}) = 2(0{,}75)=1{,}5.
Então o denominador completo é 1{,}5\cdot 17{,}66025 = 26{,}490375.
  • Numerador: g x_B^{2} = 32\cdot 15^{2}=32\cdot225=7200.
  • Logo V_A^{2}=\frac{7200}{26{,}490375}\approx 271{,}854.
V_A=\sqrt{271{,}854}\approx 16{,}49\\ \mathrm{ft/s}.
(Interpretação rápida: a velocidade inicial necessária para que o projétil, lançado a 30^\circ, atinja x=15\\ \mathrm{ft},\\ y=-9\\ \mathrm{ft} é \approx16{,}49\\ \mathrm{ft/s}.)

Passo 5

Calcular o tempo de voo até B e as componentes da velocidade em B:
  • Tempo até B pela equação horizontal: t_B=\frac{x_B}{V_A\cos\theta_A}=\frac{15}{16{,}49\cdot 0{,}86603}\approx\frac{15}{14{,}283}\approx1{,}0506\\ \mathrm{s}.
  • A componente horizontal da velocidade é constante: V_x = V_{Ax}=V_A\cos\theta_A \approx 16{,}49\cdot0{,}86603 \approx 14{,}28\\ \mathrm{ft/s}.
  • A componente vertical no instante t_B: V_y(t_B)=V_{Ay}-g t_B = V_A\sin\theta_A - g t_B.Calculando: V_A\sin\theta_A \approx 16{,}49\cdot0{,}5 = 8{,}245\\ \mathrm{ft/s},
g t_B \approx 32\cdot1{,}0506 = 33{,}619\\ \mathrm{ft/s},
V_y(t_B)\approx 8{,}245 - 33{,}619 = -25{,}374\\ \mathrm{ft/s}.
O sinal negativo indica que a velocidade vertical está dirigida para baixo no impacto.

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade em B:
  • Módulo é a norma do vetor \mathbf{V}_B=(V_x,V_y): |\mathbf{V}_B|=\sqrt{V_x^{2}+V_y^{2}}.
  • Substituindo os valores: |\mathbf{V}_B| \approx \sqrt{(14{,}28)^{2} + (-25{,}374)^{2}} \approx \sqrt{203{,}96 + 644{,}0} \approx \sqrt{847{,}96} \approx 29{,}12\\ \mathrm{ft/s}.

Resposta

V_A=16{,}49\\ \mathrm{ft/s}
|\mathbf{V}_B|=29{,}12\\ \mathrm{ft/s}

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