A bola chutada em A parte formando um ângulo
com a horizontal. Se ela atinge o solo no ponto
de coordenada
pés e
pés, determine os módulos da velocidade em A e em B.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos (peguei parte dos dados da figura enviada):
- O enunciado pede os módulos da velocidade em
(velocidade inicial) e em (no impacto). - Dados:
- Ângulo de lançamento em
: . - Coordenadas do ponto
: e (estas coordenadas foram fornecidas no enunciado / figura). - A superfície mostrada na figura é descrita por
(isto está na imagem).
- Ângulo de lançamento em
- Constante de gravidade (valor padrão em pés):
. - Objetivo numérico: encontrar
e .
Passo 2
Equações do movimento do projétil (explicando as variáveis e a ideia):
- Escolhemos o eixo
horizontal e vertical com origem em (logo tem ). O movimento é com aceleração . - As componentes da velocidade inicial
são: onde é o módulo da velocidade em (o que queremos) e é o ângulo de lançamento. - As equações da posição em função do tempo
são:
- Estratégia para achar
: eliminar o tempo usando (da igualdade ) e impor . Assim obtemos uma equação para .
Passo 3
Montar a equação para
e isolar
(álgebra passo a passo):
- Substituindo
em temos - Simplificando o primeiro termo (
), obtemos - Isolando o termo com
: - Portanto
Passo 4
Substituir os números e calcular
(mostrar cada valor intermediário):
- Primeiro calculemos os valores trigonométricos:
- Calcular os termos do denominador:
Então o denominador completo é
.
- Numerador:
- Logo
(Interpretação rápida: a velocidade inicial necessária para que o projétil, lançado a
, atinja
é
.)
Passo 5
Calcular o tempo de voo até
e as componentes da velocidade em
:
- Tempo até
pela equação horizontal: - A componente horizontal da velocidade é constante:
- A componente vertical no instante
: Calculando:
O sinal negativo indica que a velocidade vertical está dirigida para baixo no impacto.
Passo 6
Calcular o módulo da velocidade em
:
- Módulo é a norma do vetor
: - Substituindo os valores: