Como resultado da velocidade angular constante 3 rad/s, o garfo movimenta o pino P ao longo da espiral r=(0,4 . θ) m, onde θ é dado em radianos.
Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino no instante em que θ=π / 3 rad.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Foi dada a lei da espiral em coordenadas polares: r = 0,4\,\theta (metros), onde \theta está em radianos. Peguei essa relação do enunciado.
  • A velocidade angular é constante: \dot\theta = 3\\ \text{rad/s}. Isso também vem do enunciado.
  • Como \dot\theta é constante, tem-se \ddot\theta = 0.
  • O instante pedido é \theta = \pi/3\\ \text{rad}.
  • O enunciado pede: os componentes radial e transversal (angular/tangencial) da velocidade e da aceleração do pino P naquele instante.

Passo 2

Conceitos e fórmulas de cinemática em coordenadas polares (aulas rápidas e intuitivas):
  • Em coordenadas polares usa-se o vetor unitário radial \mathbf{e}_r (apontando para fora) e o unitário transversal \mathbf{e}_\theta (tangente, sentido de aumento de \theta).
  • A posição é \mathbf{r} = r\,\mathbf{e}_r.
  • As derivadas dos vetores unitários em relação ao tempo são (resultado padrão que se pode obter diferenciando com respeito a \theta): \frac{d\mathbf{e}_r}{dt}=\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta, \qquad \frac{d\mathbf{e}_\theta}{dt}=-\dot\theta\,\mathbf{e}_r.Esses resultados aparecem porque, ao fazer \theta variar, \mathbf{e}_r gira e seu giro é proporcional a \dot\theta.
  • A velocidade e a aceleração em coordenadas polares ficam então: \mathbf{v}=\dot r\,\mathbf{e}_r + r\dot\theta\,\mathbf{e}_\theta,
\mathbf{a}=(\ddot r - r\dot\theta^{2})\,\mathbf{e}_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta)\,\mathbf{e}_\theta.
Onde:
  • \dot r é a derivada temporal de r (velocidade radial),
  • r\dot\theta é a componente transversal da velocidade,
  • \ddot r é a aceleração radial direta,
  • -r\dot\theta^{2} é a contribuição centrípeta (inward) para a aceleração radial,
  • 2\dot r\dot\theta é a aceleração de Coriolis (transversal) em coordenadas polares.

Passo 3

Calcular \dot r e \ddot r a partir de r(\theta)=0,4\,\theta usando a regra da cadeia (aula rápida sobre regra da cadeia):
  • A regra da cadeia diz que, se r depende de \theta e \theta depende de t, então \dot r=(dr/d\theta)\dot\theta e \ddot r=(d^{2}r/d\theta^{2})\dot\theta^{2}+(dr/d\theta)\ddot\theta.
  • Aqui dr/d\theta = 0,4 e d^{2}r/d\theta^{2}=0 porque r é linear em \theta.
  • Assim: \dot r = 0,4\cdot\dot\theta, \qquad \ddot r = 0\cdot\dot\theta^{2} + 0,4\cdot\ddot\theta = 0, \text{ pois } \ddot\theta=0.
  • Substituindo \dot\theta=3\\ \text{rad/s}: \dot r = 0,4\cdot 3 = 1,2\\ \text{m/s}, \qquad \ddot r = 0\\ \text{m/s}^2.

Passo 4

Calcular r no instante pedido ( \theta=\pi/3):
  • Usando r=0,4\,\theta, r\Big|_{\theta=\pi/3} = 0,4\cdot\frac{\pi}{3} = \frac{0,4\pi}{3} = \frac{2\pi}{15}\\ \text{m}.(Forma decimal: r \approx 0,4\cdot1,0472 \approx 0,419\\ \text{m}, se for preciso interpretar numericamente.)

Passo 5

Componentes da velocidade: fórmulas e substituição
  • Fórmulas: v_{r}=\dot r, \qquad v_{\theta}=r\dot\theta.
  • Já temos \dot r=1,2\\ \text{m/s} e \dot\theta=3\\ \text{rad/s} e r=\dfrac{0,4\pi}{3}.
  • Portanto: v_{r}=1,2\\ \text{m/s},
v_{\theta}=r\dot\theta=\left(\frac{0,4\pi}{3}\right)\cdot 3 = 0,4\pi\\ \text{m/s}.
  • Em valor decimal aproximado usando \pi\approx 3,14159: v_{\theta}\approx 0,4\cdot 3,14159 \approx 1,257\\ \text{m/s}.

Passo 6

Componentes da aceleração: fórmulas e substituição
  • Fórmulas: a_{r}=\ddot r - r\dot\theta^{2}, \qquad a_{\theta}=r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta.
  • Já sabemos \ddot r=0, \ddot\theta=0. Logo: a_{r} = - r\dot\theta^{2}, \qquad a_{\theta} = 2\dot r\dot\theta.
  • Substituindo r=\dfrac{0,4\pi}{3}, \dot\theta=3 e \dot r=1,2: a_{r} = -\left(\frac{0,4\pi}{3}\right)\cdot 3^{2} = -\left(\frac{0,4\pi}{3}\right)\cdot 9 = -1,2\pi\\ \text{m/s}^2,
a_{\theta} = 2\cdot 1,2\cdot 3 = 7,2\\ \text{m/s}^2.
  • Em valor decimal aproximado: a_{r}\approx -1,2\cdot 3,14159 \approx -3,770\\ \text{m/s}^2.

Passo 7

Interpretação física rápida (pra você relacionar na prova):
  • v_{r}=1,2\\ \text{m/s} indica que o pino está se afastando do centro com velocidade radial de 1,2\\ \text{m/s}.
  • v_{\theta}=0,4\pi\\ \text{m/s} (≈ 1,257\\ \text{m/s}) é a velocidade tangencial devido à rotação.
  • a_{r}=-1,2\pi\\ \text{m/s}^2 (≈ -3,770\\ \text{m/s}^2) é negativo: é uma aceleração centrípeta apontando para o centro, magnitude 1,2\pi.
  • a_{\theta}=7,2\\ \text{m/s}^2 é a componente tangencial da aceleração (aquecendo a velocidade angular efetiva do pino), gerada aqui pelo termo 2\dot r\dot\theta (efeito tipo Coriolis em polares).

Resposta

v_{r}=1,2\\ \text{m/s}
v_{\theta}=0,4\pi\\ \text{m/s}\approx 1,257\\ \text{m/s}
a_{r}=-1,2\pi\\ \text{m/s}^2\approx -3,770\\ \text{m/s}^2
a_{\theta}=7,2\\ \text{m/s}^2

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