Como resultado da velocidade angular constante 3 rad/s, o garfo movimenta o pino P ao longo da espiral r=(0,4 . θ) m, onde θ é dado em radianos.
Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino no instante em que θ=π / 3 rad.
Determine os componentes radiais e transversais da velocidade e da aceleração do pino no instante em que θ=π / 3 rad.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Foi dada a lei da espiral em coordenadas polares:
(metros), onde está em radianos. Peguei essa relação do enunciado. - A velocidade angular é constante:
. Isso também vem do enunciado. - Como
é constante, tem-se . - O instante pedido é
. - O enunciado pede: os componentes radial e transversal (angular/tangencial) da velocidade e da aceleração do pino P naquele instante.
Passo 2
Conceitos e fórmulas de cinemática em coordenadas polares (aulas rápidas e intuitivas):
- Em coordenadas polares usa-se o vetor unitário radial
(apontando para fora) e o unitário transversal (tangente, sentido de aumento de ). - A posição é
. - As derivadas dos vetores unitários em relação ao tempo são (resultado padrão que se pode obter diferenciando com respeito a
): Esses resultados aparecem porque, ao fazer variar, gira e seu giro é proporcional a . - A velocidade e a aceleração em coordenadas polares ficam então:
Onde:
-
é a derivada temporal de (velocidade radial), -
é a componente transversal da velocidade, -
é a aceleração radial direta, -
é a contribuição centrípeta (inward) para a aceleração radial, -
é a aceleração de Coriolis (transversal) em coordenadas polares.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
usando a regra da cadeia (aula rápida sobre regra da cadeia):
- A regra da cadeia diz que, se
depende de e depende de , então e . - Aqui
e porque é linear em . - Assim:
- Substituindo
:
Passo 4
Calcular
no instante pedido (
):
- Usando
, (Forma decimal: , se for preciso interpretar numericamente.)
Passo 5
Componentes da velocidade: fórmulas e substituição
- Fórmulas:
- Já temos
e e . - Portanto:
- Em valor decimal aproximado usando
:
Passo 6
Componentes da aceleração: fórmulas e substituição
- Fórmulas:
- Já sabemos
, . Logo: - Substituindo
, e :
- Em valor decimal aproximado:
Passo 7
Interpretação física rápida (pra você relacionar na prova):
-
indica que o pino está se afastando do centro com velocidade radial de . -
(≈ ) é a velocidade tangencial devido à rotação. -
(≈ ) é negativo: é uma aceleração centrípeta apontando para o centro, magnitude . -
é a componente tangencial da aceleração (aquecendo a velocidade angular efetiva do pino), gerada aqui pelo termo (efeito tipo Coriolis em polares).