Uma bola de futebol é chutada com uma velocidade inicial de 19,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, num ângulo de 45^{\circ} em direção ao gol. Um goleiro, que está a 54,6 \mathrm{~m} de distância, na linha do gol, começa a correr para interceptá-la. Qual deve ser a sua velocidade média, para agarrar a bola no exato instante em que ela bate no solo? Despreze a resistência do ar.

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo de uma bola, com velocidade inicial v_0 = 19,2,m/s e ângulo de 45^\circ, sem resistência do ar. O goleiro está sobre a linha de gol, a 54,6,m do ponto de chute, e deve correr para agarrar a bola exatamente no instante em que ela retorna ao solo. Para resolver precisamos encontrar (1) o tempo de voo da bola, (2) o alcance horizontal do tiro e, em seguida, (3) a distância que o goleiro deve percorrer e (4) a velocidade média requerida.

Passo 2

O tempo total de voo de um projétil lançado do solo e retornando ao solo é dado por
t = \frac{2\,v_0\sin\theta}{g}.
Tomando g = 9,8,m/ s^{2} e \sin45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2},
t = \frac{2 \times 19,2 \times \tfrac{\sqrt{2}}{2}}{9,8} = \frac{19,2\,\sqrt{2}}{9,8} \approx 2{,}77\text{ s}.

Passo 3

O alcance horizontal R é dado por
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}.
Como \sin(2\cdot45^\circ)=\sin90^\circ=1,
R = \frac{19,2^2}{9,8} = \frac{368,64}{9,8} \approx 37{,}6\text{ m}.

Passo 4

O goleiro está a 54{,}6,m do ponto de chute e a bola aterrissa a R\approx37{,}6,m. Então ele precisa correr
L = 54{,}6 - 37{,}6 = 17{,}0\text{ m}.

Passo 5

A velocidade média exigida é
v_{\text{média}} = \frac{L}{t} = \frac{17{,}0}{2{,}77} \approx 6{,}14\text{ m/s}.é

Resposta

A velocidade média deve ser aproximadamente 6{,}14,m/s.

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