Num jogo de beisebol, o jogador da terceira base quer fazer um lançamento para a primeira, a 38,1 \mathrm{~m} de distância. Sua melhor velocidade de lançamento é 136 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(a) Se ele lança a bola horizontalmente, 1,0 \mathrm{~m} acima do solo, a que distância da primeira base ela alcançará o solo? (b) Com que ângulo de elevação o jogador da
terceira base deverá lançar a bola, para o da primeira agarrá-la a 1,0 \mathrm{~m} acima do solo? (c) Qual o tempo de percurso da bola nesse caso?

Passo 1

O enunciado trata de lançamento de projétil em duas situações: (a) lançamento horizontal a partir de 1,0,m de altura; (b) lançamento oblíquo de mesma velocidade inicial para que a bola chegue a 1,0,m de altura após percorrer 38,1,m; (c) tempo de voo nessa segunda situação. Vamos usar as equações da cinemática de projéteis com aceleração vertical -g, g=9,8,m/ s^{2}, e velocidade inicial de módulo
v_0 = 136\\ \text{km/h} = 136\cdot\frac{1000}{3600}\\ \text{m/s}\approx 37{,}78\\ \text{m/s}.

Passo 2

Para (a), o movimento vertical é
y(t)=y_0 - \tfrac12\,g\,t^2,
com y_0=1{,}0,m. Definindo y(t_f)=0 (queda ao solo), temos
0 = 1{,}0 - \tfrac12\cdot9{,}8\,t_f^2 \quad\Longrightarrow\quad t_f = \sqrt{\frac{2\cdot1{,}0}{9{,}8}}\approx0{,}452\\ \text{s}.

Passo 3

Nesse lançamento horizontal, a componente horizontal da velocidade é v_{0x}=v_0. A distância horizontal percorrida até o solo é
x = v_{0x}\,t_f = 37{,}78\cdot0{,}452\approx17{,}1\\ \text{m}.

Passo 4

Para (b), queremos que o projétil saia e volte à mesma altura y_0=1{,}0,m, alcançando x=38{,}1,m. Nesse caso a “distância de alcance” é
R=\frac{v_0^2}{g}\,\sin(2\theta).
Igualando R=38{,}1 e isolando \sin(2\theta),
\sin(2\theta) =\frac{g\,R}{v_0^2} =\frac{9{,}8\cdot38{,}1}{(37{,}78)^2} \approx0{,}2616.

Passo 5

Assim
2\theta = \arcsin(0{,}2616)\approx15{,}17^\circ \quad\Longrightarrow\quad \theta\approx7{,}59^\circ.
(Há outra solução \theta\approx82{,}41^\circ, mas escolhemos o ângulo agudo.)

Passo 6

Para (c), o tempo de voo na segunda situação pode ser obtido por
t = \frac{R}{v_0\cos\theta} = \frac{38{,}1}{37{,}78\cos(7{,}59^\circ)} \approx1{,}02\\ \text{s}.

Resposta

(a) 17{,}1\\ \text{m}
(b) 7{,}59^\circ
(c) 1{,}02\\ \text{s}

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