Uma bola é lançada verticalmente de
com
. Determine: (a) a altura máxima; (b) o tempo até atingir o solo; (c) a velocidade de impacto.
Passo 1
Dados do enunciado e perguntas claras:
- Ponto de lançamento:
. - Velocidade inicial:
(para cima). - A gravidade terrestre age para baixo; usaremos a aceleração
.
Perguntas:
(a) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
(b) Quanto tempo até a bola atingir o solo ()?
(c) Qual é a velocidade no impacto com o solo (módulo e sentido)?
Passo 2
Escolha de convenções e fórmulas úteis (explicação didática):
- Convenção de sinal: escolhemos cima como sentido positivo. Então a aceleração devido à gravidade é
. - Variáveis:
-
: posição vertical no instante (em metros). -
: velocidade vertical no instante (em ). -
: posição inicial ( ). -
: velocidade inicial ( ). -
: aceleração constante ( ).
-
Fórmulas de cinemática (movimento retilíneo uniformemente variado, MRUV), válidas porque
é constante:
e a relação sem tempo (muito útil para alturas/velocidades):
Explicação rápida: a primeira dá velocidade instantânea, a segunda dá a posição em função do tempo, a terceira relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo.
Passo 3
Determinar a altura máxima (a altura em que
) — fazemos passo a passo usando a relação sem tempo:
Partimos de
Isolando
:
(Observação sobre sinais: aqui
é negativo, então o resultado do quociente ficará positivo, aumentando
, como deve ser.)
Substituindo os números:
Portanto
Passo 4
Determinar o tempo até atingir o solo (
) resolvendo a equação quadrática:
Usamos
Substituindo valores:
que é
Multiplicando por
para ficar na forma padrão:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (
), com
,
,
. Primeiro o discriminante:
As raízes são
Isso dá duas soluções: uma negativa (não física, pois corresponderia a tempo anterior ao lançamento) e uma positiva:
(Como checagem alternativa: tempo até o ápice
; tempo de queda do ápice até o solo calculado por
dá cerca de
; soma ≈
, consistente.)
Passo 5
Determinar a velocidade no impacto (uso direto de
e sinal pela direção):
Usando a relação
com
:
Logo o módulo da velocidade é
. Como a bola está se movendo para baixo no impacto, o sinal da velocidade é negativo (segundo a nossa convenção topo positivo):
ou, em palavras, velocidade de
para baixo. (Checagem com
:
, consistente.)
Resposta
(a)
(b)
(c) (ou seja,
para baixo)
(b)
(c)