Uma bola é lançada verticalmente de y_{0}=1,5 \mathrm{~m} com v_{0}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine: (a) a altura máxima; (b) o tempo até atingir o solo; (c) a velocidade de impacto.

Passo 1

Dados do enunciado e perguntas claras:
  • Ponto de lançamento: y_{0}=1,5\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial: v_{0}=12\\ \mathrm{m/s} (para cima).
  • A gravidade terrestre age para baixo; usaremos a aceleração a=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Perguntas:
    (a) Qual é a altura máxima atingida pela bola?
    (b) Quanto tempo até a bola atingir o solo ( y=0)?
    (c) Qual é a velocidade no impacto com o solo (módulo e sentido)?

Passo 2

Escolha de convenções e fórmulas úteis (explicação didática):
  • Convenção de sinal: escolhemos cima como sentido positivo. Então a aceleração devido à gravidade é \;a=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Variáveis:
    • y(t): posição vertical no instante t (em metros).
    • v(t): velocidade vertical no instante t (em \mathrm{m/s}).
    • y_{0}: posição inicial ( 1,5\\ \mathrm{m}).
    • v_{0}: velocidade inicial ( 12\\ \mathrm{m/s}).
    • a: aceleração constante ( -9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Fórmulas de cinemática (movimento retilíneo uniformemente variado, MRUV), válidas porque a é constante:
v(t)=v_{0}+a\,t
y(t)=y_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}
e a relação sem tempo (muito útil para alturas/velocidades):
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,(y-y_{0})
Explicação rápida: a primeira dá velocidade instantânea, a segunda dá a posição em função do tempo, a terceira relaciona velocidades e deslocamento sem precisar do tempo.

Passo 3

Determinar a altura máxima (a altura em que v=0) — fazemos passo a passo usando a relação sem tempo:
Partimos de
0=v_{0}^{2}+2a\,(y_{\max}-y_{0}).
Isolando y_{\max}:
y_{\max}=y_{0}-\frac{v_{0}^{2}}{2a}.
(Observação sobre sinais: aqui a é negativo, então o resultado do quociente ficará positivo, aumentando y_{0}, como deve ser.)
Substituindo os números:
v_{0}^{2}=12^{2}=144,
2a=2\cdot(-9,8)=-19,6,
y_{\max}=1,5-\frac{144}{-19,6}=1,5+\frac{144}{19,6}=1,5+7,3469387755\ldots
Portanto
y_{\max}\approx 8,85\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Determinar o tempo até atingir o solo ( y(t)=0) resolvendo a equação quadrática:
Usamos
y(t)=y_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}=0.
Substituindo valores:
1,5+12t+\tfrac{1}{2}(-9,8)t^{2}=0
que é
-4,9t^{2}+12t+1,5=0.
Multiplicando por -1 para ficar na forma padrão:
4,9t^{2}-12t-1,5=0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara ( t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}), com a=4,9, b=-12, c=-1,5. Primeiro o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4\cdot4,9\cdot(-1,5)=144+29,4=173,4.
\sqrt{\Delta}\approx 13,17.
As raízes são
t=\frac{12\pm\sqrt{173,4}}{9,8}.
Isso dá duas soluções: uma negativa (não física, pois corresponderia a tempo anterior ao lançamento) e uma positiva:
t_{\text{impact}}=\frac{12+13,17}{9,8}\approx\frac{25,17}{9,8}\approx 2,57\\ \mathrm{s}.
(Como checagem alternativa: tempo até o ápice t_{\text{up}}=v_{0}/g=12/9,8\approx1,22\\ \mathrm{s}; tempo de queda do ápice até o solo calculado por \sqrt{2\,\Delta y/g} dá cerca de 1,34\\ \mathrm{s}; soma ≈ 2,57\\ \mathrm{s}, consistente.)

Passo 5

Determinar a velocidade no impacto (uso direto de v^{2} e sinal pela direção):
Usando a relação
v^{2}=v_{0}^{2}+2a\,(y_{\text{final}}-y_{0})
com y_{\text{final}}=0:
v^{2}=144+2\cdot(-9,8)\cdot(0-1,5)=144+29,4=173,4.
Logo o módulo da velocidade é \sqrt{173,4}\approx 13,17\\ \mathrm{m/s}. Como a bola está se movendo para baixo no impacto, o sinal da velocidade é negativo (segundo a nossa convenção topo positivo):
v_{\text{impact}}\approx -13,17\\ \mathrm{m/s},
ou, em palavras, velocidade de 13,17\\ \mathrm{m/s} para baixo. (Checagem com v=v_{0}+a t: v=12-9,8\cdot2,57\approx -13,17\\ \mathrm{m/s}, consistente.)

Resposta

(a) y_{\max}\approx 8,85\\ \mathrm{m}
(b) t_{\text{impact}}\approx 2,57\\ \mathrm{s}
(c) v_{\text{impact}}\approx -13,17\\ \mathrm{m/s} (ou seja, 13,17\\ \mathrm{m/s} para baixo)

Exercícios relacionados