1. Uma bola é largada de uma altura de 10 m. A cada vez que ela bate no chão, ela repica verticalmente a uma altura que é \frac{3}{4} da altura precedente. Encontre a distância total que a bola percorre, supondo que ela repique indeterminadamente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: A bola é largada de uma altura de 10\\ \text{m}.
  • Informação 2: Cada vez que a bola bate no chão ela sobe até uma altura igual a \dfrac{3}{4} da altura precedente.
  • Pergunta: Qual é a distância total percorrida pela bola se ela repica infinitamente?
Não resolvo nada ainda; só listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Modelar as alturas atingidas após cada impacto.
  • Denoto a razão de redução por r. Pelo enunciado, r=\dfrac{3}{4}.
  • A altura inicial é H_0=10\\ \text{m}.
  • A altura alcançada no primeiro repique (após o primeiro choque) é H_1 = H_0\cdot r = 10\cdot r.
  • Em geral, a altura do k-ésimo repique é H_k = H_0\cdot r^{\,k} = 10\cdot r^{\,k},\qquad k=1,2,3,\dots
Explicação curta: cada repique multiplica a altura anterior por r, por isso obtemos uma sequência geométrica de alturas.

Passo 3

Expressar a distância total percorrida como uma soma infinita.
  • A bola primeiro cai do repouso até o chão, percorrendo H_0=10\\ \text{m}.
  • Depois do primeiro choque ela sobe H_1 e volta a descer H_1: contribuição total 2H_1.
  • Depois do segundo choque sobe H_2 e desce H_2: contribuição 2H_2.
  • E assim por diante indefinidamente.
Logo a distância total S é a soma do primeiro trecho mais todas as subidas e descidas seguintes:
S = H_0 + 2\sum_{k=1}^{\infty} H_k.
Substituindo H_0=10 e H_k=10 r^{\,k}, obtemos
S = 10 + 2\sum_{k=1}^{\infty} 10\,r^{\,k} = 10 + 20\sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k}.

Passo 4

Resumo e demonstração da fórmula da soma de uma série geométrica infinita (a ferramenta que precisamos).
  • Série geométrica finita: para qualquer r\neq 1,
\sum_{k=0}^{n} r^{\,k} = \dfrac{1-r^{\,n+1}}{1-r}.
Derivação rápida: seja S_n=\sum_{k=0}^{n} r^{\,k}. Multiplicando por 1-r aparece um telescópio:
(1-r)S_n = S_n - rS_n = 1 - r^{\,n+1}.
Logo S_n=(1-r^{\,n+1})/(1-r).
  • Soma infinita: se |r|<1 então r^{\,n+1}\to 0 quando n\to\infty. Assim
\sum_{k=0}^{\infty} r^{\,k} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{1-r^{\,n+1}}{1-r} = \dfrac{1}{1-r}.
  • A soma começando em k=1 é apenas a soma começando em k=0 menos o termo k=0:
\sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k} = \sum_{k=0}^{\infty} r^{\,k} - 1 = \dfrac{1}{1-r}-1 = \dfrac{r}{1-r}.
  • Condição de convergência: é essencial que |r|<1. Aqui r=\dfrac{3}{4} e \left|\dfrac{3}{4}\right|<1, então a soma infinita existe (converge).

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso problema e simplificar (mostrando os passos, sem repetir a resposta final).
  • Usando \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k}=\dfrac{r}{1-r} com r=\dfrac{3}{4}, temos
\sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k} = \dfrac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}} = \dfrac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}} = 3.
  • Substituindo na expressão para S:
S = 10 + 20\sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k} = 10 + 20\cdot 3 = 10 + 60.

Passo 6

Checagem rápida e dica para prova (motivação e memória).
  • Interpretação: a primeira queda dá 10\\ \text{m}. O resto das trajetórias (todas as subidas e descidas infinitas) soma 60\\ \text{m}, totalizando um caminho bem maior do que a altura inicial, por causa das muitas repetições decrescentes.
  • Dica prática para a prova: identifique a primeira contribuição (queda inicial), escreva a série das alturas dos repiques como uma sequência geométrica, e lembre da fórmula \sum_{k=1}^{\infty} r^{\,k}=\dfrac{r}{1-r} quando |r|<1. Isso resolve a grande maioria desses problemas.

Resposta

70\\ \text{m}

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