- Uma bola é largada de uma altura de
. A cada vez que ela bate no chão, ela repica verticalmente a uma altura que é
da altura precedente. Encontre a distância total que a bola percorre, supondo que ela repique indeterminadamente.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: A bola é largada de uma altura de
. - Informação 2: Cada vez que a bola bate no chão ela sobe até uma altura igual a
da altura precedente. - Pergunta: Qual é a distância total percorrida pela bola se ela repica infinitamente?
Não resolvo nada ainda; só listei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Modelar as alturas atingidas após cada impacto.
- Denoto a razão de redução por
. Pelo enunciado, - A altura inicial é
. - A altura alcançada no primeiro repique (após o primeiro choque) é
- Em geral, a altura do
-ésimo repique é
Explicação curta: cada repique multiplica a altura anterior por
, por isso obtemos uma sequência geométrica de alturas.
Passo 3
Expressar a distância total percorrida como uma soma infinita.
- A bola primeiro cai do repouso até o chão, percorrendo
. - Depois do primeiro choque ela sobe
e volta a descer : contribuição total . - Depois do segundo choque sobe
e desce : contribuição . - E assim por diante indefinidamente.
Logo a distância total
é a soma do primeiro trecho mais todas as subidas e descidas seguintes:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Resumo e demonstração da fórmula da soma de uma série geométrica infinita (a ferramenta que precisamos).
- Série geométrica finita: para qualquer
,
Derivação rápida: seja
. Multiplicando por
aparece um telescópio:
Logo
.
- Soma infinita: se
então quando . Assim
- A soma começando em
é apenas a soma começando em menos o termo :
- Condição de convergência: é essencial que
. Aqui e , então a soma infinita existe (converge).
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso problema e simplificar (mostrando os passos, sem repetir a resposta final).
- Usando
com , temos
- Substituindo na expressão para
:
Passo 6
Checagem rápida e dica para prova (motivação e memória).
- Interpretação: a primeira queda dá
. O resto das trajetórias (todas as subidas e descidas infinitas) soma , totalizando um caminho bem maior do que a altura inicial, por causa das muitas repetições decrescentes. - Dica prática para a prova: identifique a primeira contribuição (queda inicial), escreva a série das alturas dos repiques como uma sequência geométrica, e lembre da fórmula
quando . Isso resolve a grande maioria desses problemas.