1. Expresse as dízimas periódicas 0,4444444 \ldots e 5,3737373737 como uma fração.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
  • Pedem para expressar como fração as dízimas periódicas \,0,4444444\ldots e \,5,3737373737\ldots.\n
  • As duas grandezas são dízimas periódicas: a primeira tem um único algarismo periódico ( 4) e a segunda tem um bloco periódico de dois algarismos ( 37).\n
  • Objetivo: encontrar, para cada número, uma fração irredutível que seja igual ao número dado.

Passo 2

Ideia geral do método (passo-a-passo que eu sempre uso, explica o porquê funciona).\n
  • Seja x um número decimal periódico cujos algarismos periódicos começam imediatamente após a vírgula (caso com parte inteira, isso também funciona). Suponha que o período tenha r dígitos. Se multiplicarmos x por 10^{r}, os dígitos periódicos ficam alinhados (a repetição fica na mesma posição decimal). Assim podemos fazer:
10^{r}x - x = \text{(número sem parte periódica)}.úó
  • Como consequência teremos
(10^{r}-1)x=\text{inteiro},
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x=\frac{\text{inteiro}}{10^{r}-1}.
  • Explicando as variáveis: r é o número de dígitos que se repetem; o “inteiro” é obtido subtraindo as duas representações (por exemplo 10^{r}x menos x), e sempre será um número inteiro porque a parte decimal periódica some na subtração.

Passo 3

Aplicando o método a \,0,4444444\ldots.\n
  • Defino x= \,0,4444444\ldots (ou seja x=0,\overline{4}). Aqui o período tem r=1 dígito (o algarismo 4).\n
  • Multiplico por 10^{1}=10:
10x=4,4444444\ldots
  • Agora subtraio x de 10x:
10x-x=4,4444444\ldots - 0,4444444\ldots
9x=4
  • Isolando x:
x=\frac{4}{9}.
  • Conclusão provisória: \,0,4444444\ldots=\dfrac{4}{9}.

Passo 4

Observação/atalho útil (para decorar e usar na prova).\n
  • Se a dízima periódica for do tipo 0,\overline{d} com um único dígito d, então ela vale \dfrac{d}{9}. É uma consequência direta do procedimento acima (aqui d=4\Rightarrow 4/9).\n
  • Para um bloco periódico de dois dígitos ab (por exemplo 0,\overline{37}), a forma imediata é \dfrac{ab}{99} (pois 10^{2}-1=99). Para três dígitos seria \dfrac{abc}{999}, e assim por diante.

Passo 5

Aplicando o método a \,5,3737373737\ldots.\n
  • Defino y= \,5,3737373737\ldots (ou seja y=5,\overline{37}). O período é o bloco 37 com r=2 dígitos.\n
  • Multiplico por 10^{2}=100 para alinhar os períodos:
100y=537,3737373737\ldots
  • Subtraio y de 100y:
100y - y = 537,373737\ldots - 5,373737\ldots
99y = 532
  • Isolando y:
y=\frac{532}{99}.

Passo 6

Verificação rápida e alternativa (pra você sentir segurança na resposta).\n
  • Alternativa: escrever y=5+ 0,\overline{37}. Como o período 37 tem dois dígitos, 0,\overline{37}=\dfrac{37}{99}. Então
y=5+\frac{37}{99}=\frac{5\cdot 99 + 37}{99}=\frac{495+37}{99}=\frac{532}{99},
o que coincide com o resultado obtido antes.\n
  • Checagem de irredutibilidade rápida: 99=9\cdot11. A soma dos dígitos de 532 é 5+3+2=10 (não múltiplo de 3), e 532 não é múltiplo de 11 (pois 532- (5-3+2)=4\neq0 — teste alternativo), então a fração \dfrac{532}{99} já está irredutível.

Resposta

\dfrac{4}{9}\n
\dfrac{532}{99}

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