Expresse as dízimas periódicas 0,4444444 \ldots e 5,3737373737 como uma fração.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:\n
Pedem para expressar como fração as dízimas periódicas \,0,4444444\ldots e \,5,3737373737\ldots.\n
As duas grandezas são dízimas periódicas: a primeira tem um único algarismo periódico (4) e a segunda tem um bloco periódico de dois algarismos (37).\n
Objetivo: encontrar, para cada número, uma fração irredutível que seja igual ao número dado.
Passo 2
Ideia geral do método (passo-a-passo que eu sempre uso, explica o porquê funciona).\n
Seja x um número decimal periódico cujos algarismos periódicos começam imediatamente após a vírgula (caso com parte inteira, isso também funciona). Suponha que o período tenha r dígitos. Se multiplicarmos x por 10^{r}, os dígitos periódicos ficam alinhados (a repetição fica na mesma posição decimal). Assim podemos fazer:
10^{r}x - x = \text{(número sem parte periódica)}.
Como consequência teremos
(10^{r}-1)x=\text{inteiro},
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x=\frac{\text{inteiro}}{10^{r}-1}.
Explicando as variáveis: r é o número de dígitos que se repetem; o “inteiro” é obtido subtraindo as duas representações (por exemplo 10^{r}x menos x), e sempre será um número inteiro porque a parte decimal periódica some na subtração.
Passo 3
Aplicando o método a \,0,4444444\ldots.\n
Defino x=\,0,4444444\ldots (ou seja x=0,\overline{4}). Aqui o período tem r=1 dígito (o algarismo 4).\n
Observação/atalho útil (para decorar e usar na prova).\n
Se a dízima periódica for do tipo 0,\overline{d} com um único dígito d, então ela vale \dfrac{d}{9}. É uma consequência direta do procedimento acima (aqui d=4\Rightarrow 4/9).\n
Para um bloco periódico de dois dígitos ab (por exemplo 0,\overline{37}), a forma imediata é \dfrac{ab}{99} (pois 10^{2}-1=99). Para três dígitos seria \dfrac{abc}{999}, e assim por diante.
Passo 5
Aplicando o método a \,5,3737373737\ldots.\n
Defino y=\,5,3737373737\ldots (ou seja y=5,\overline{37}). O período é o bloco 37 com r=2 dígitos.\n
Multiplico por 10^{2}=100 para alinhar os períodos:
100y=537,3737373737\ldots
Subtraio y de 100y:
100y - y = 537,373737\ldots - 5,373737\ldots
99y = 532
Isolando y:
y=\frac{532}{99}.
Passo 6
Verificação rápida e alternativa (pra você sentir segurança na resposta).\n
Alternativa: escrever y=5+0,\overline{37}. Como o período 37 tem dois dígitos, 0,\overline{37}=\dfrac{37}{99}. Então
Checagem de irredutibilidade rápida: 99=9\cdot11. A soma dos dígitos de 532 é 5+3+2=10 (não múltiplo de 3), e 532 não é múltiplo de 11 (pois 532- (5-3+2)=4\neq0 — teste alternativo), então a fração \dfrac{532}{99} já está irredutível.