4 Uma bola de massa
está presa à extremidade de uma mola de constante elástica
. Quando a bola é deslocada em relação à posição de equilíbrio e depois liberada, passa a descrever um movimento harmônico simples. Qual das afirmações abaixo a respeito da relação entre a frequência angular, a massa e a constante elástica é verdadeira?
a) Quanto maior a constante elástica da mola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.
a) Quanto maior a constante elástica da mola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.
Passo 1
O enunciado dá uma bola de massa
presa à extremidade de uma mola de constante elástica
. A bola é deslocada a partir da posição de equilíbrio e liberada, e descreve um movimento harmônico simples. Pede-se identificar qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre a relação entre a frequência angular, a massa e a constante elástica:
a) Quanto maior a constante elástica da mola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.
Informações relevantes fornecidas: a massa
e a constante elástica
definem o sistema massa-mola; o movimento é harmônico simples. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Primeiro conceito que precisamos lembrar (de forma simples e direta): a mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio e atua no sentido de restaurar a posição de equilíbrio. Em linguagem de fórmula isso é:
onde:
-
é a força exercida pela mola (em newtons), -
é a constante elástica da mola (em newtons por metro), -
é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio (em metros), - o sinal negativo indica que a força é de sentido oposto ao deslocamento.
Também usamos a Segunda Lei de Newton na forma:
onde:
-
é a massa da bola (em quilogramas), -
é a aceleração (segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo), -
é a soma das forças atuantes (aqui, a força elástica).
Passo 3
Agora montamos a equação do movimento juntando Hooke e Newton. Para o sistema massa-mola (ignorando outras forças como amortecimento ou peso que é compensado no equilíbrio), a única força restauradora é
. Logo:
Reescrevendo:
Esta é a equação diferencial do movimento harmônico simples. A solução padrão dessa equação tem a forma oscilatória com frequência angular
dada por
ou seja
Explicando as variáveis nessa fórmula:
-
é a frequência angular (em radianos por segundo), que mede quão rápido a oscilação ocorre em termos angulares; -
é a constante elástica da mola (quanto maior , “mais rígida” é a mola); -
é a massa da bola.
Passo 4
Interpretação direta da fórmula
:
-
Se
aumenta e fica fixo, então aumenta, porque cresce com a raiz de . Exemplinho numérico: se passa de para com , então vai de para rad/s — aumentou. -
Se
aumenta e fica fixo, então diminui, porque aparece no denominador dentro da raiz. Exemplinho: com , se vai de para , vai de para rad/s — diminuiu. -
O deslocamento inicial (amplitude) não aparece na fórmula de
. Para o oscilador harmônico linear ideal sem amortecimento, a frequência é independente da amplitude — trocar o quanto a bola foi puxada não altera . -
Relação com o período
: o período está relacionado com por
Isso é uma inversa simples: se
aumenta, então
diminui, e vice-versa. Portanto “quanto maior o período, maior a frequência angular” é falso — o correto é maior período significa menor
.
Passo 5
Agora avaliando as alternativas com base no que acabamos de deduzir:
a) Verdadeira — maior
⇒ maior
(pela fórmula
).
b) Falsa — maior ⇒ menor
.
c) Falsa — amplitude (deslocamento inicial) não afeta no oscilador harmônico linear.
d) Falsa — período maior implica menor, pois
.
b) Falsa — maior
c) Falsa — amplitude (deslocamento inicial) não afeta
d) Falsa — período maior implica
Resposta
a)