4 Uma bola de massa m está presa à extremidade de uma mola de constante elástica k. Quando a bola é deslocada em relação à posição de equilíbrio e depois liberada, passa a descrever um movimento harmônico simples. Qual das afirmações abaixo a respeito da relação entre a frequência angular, a massa e a constante elástica é verdadeira?
a) Quanto maior a constante elástica da mola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.

Passo 1

O enunciado dá uma bola de massa m presa à extremidade de uma mola de constante elástica k. A bola é deslocada a partir da posição de equilíbrio e liberada, e descreve um movimento harmônico simples. Pede-se identificar qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre a relação entre a frequência angular, a massa e a constante elástica:
a) Quanto maior a constante elástica da mola, maior a frequência angular.
b) Quanto maior a massa da bola, maior a frequência angular.
c) Quanto maior o deslocamento inicial da bola, maior a frequência angular.
d) Quanto maior o período do movimento da bola, maior a frequência angular.
Informações relevantes fornecidas: a massa m e a constante elástica k definem o sistema massa-mola; o movimento é harmônico simples. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeiro conceito que precisamos lembrar (de forma simples e direta): a mola obedece à Lei de Hooke, que diz que a força elástica é proporcional ao deslocamento a partir do equilíbrio e atua no sentido de restaurar a posição de equilíbrio. Em linguagem de fórmula isso é:
F_{\text{el}} = -k x,
onde:
  • F_{\text{el}} é a força exercida pela mola (em newtons),
  • k é a constante elástica da mola (em newtons por metro),
  • x é o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio (em metros),
  • o sinal negativo indica que a força é de sentido oposto ao deslocamento.
Também usamos a Segunda Lei de Newton na forma:
m \ddot{x} = \sum F,
onde:
  • m é a massa da bola (em quilogramas),
  • \ddot{x} é a aceleração (segunda derivada do deslocamento em relação ao tempo),
  • \sum F é a soma das forças atuantes (aqui, a força elástica).

Passo 3

Agora montamos a equação do movimento juntando Hooke e Newton. Para o sistema massa-mola (ignorando outras forças como amortecimento ou peso que é compensado no equilíbrio), a única força restauradora é F_{\text{el}}=-k x. Logo:
m \ddot{x} = -k x.
Reescrevendo:
\ddot{x} + \frac{k}{m} x = 0.
Esta é a equação diferencial do movimento harmônico simples. A solução padrão dessa equação tem a forma oscilatória com frequência angular \omega dada por
\omega^{2} = \frac{k}{m},
ou seja
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando as variáveis nessa fórmula:
  • \omega é a frequência angular (em radianos por segundo), que mede quão rápido a oscilação ocorre em termos angulares;
  • k é a constante elástica da mola (quanto maior k, “mais rígida” é a mola);
  • m é a massa da bola.

Passo 4

Interpretação direta da fórmula \omega=\sqrt{k/m}:
  • Se k aumenta e m fica fixo, então \omega aumenta, porque \omega cresce com a raiz de k. Exemplinho numérico: se k passa de 100 para 400\\ \text{N/m} com m=1\\ \text{kg}, então \omega vai de \sqrt{100/1}=10 para \sqrt{400/1}=20 rad/s — aumentou.
  • Se m aumenta e k fica fixo, então \omega diminui, porque aparece m no denominador dentro da raiz. Exemplinho: com k=100\\ \text{N/m}, se m vai de 1 para 4\\ \text{kg}, \omega vai de \sqrt{100/1}=10 para \sqrt{100/4}=5 rad/s — diminuiu.
  • O deslocamento inicial (amplitude) não aparece na fórmula de \omega. Para o oscilador harmônico linear ideal sem amortecimento, a frequência é independente da amplitude — trocar o quanto a bola foi puxada não altera \omega.
  • Relação com o período T: o período está relacionado com \omega por
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Isso é uma inversa simples: se T aumenta, então \omega diminui, e vice-versa. Portanto “quanto maior o período, maior a frequência angular” é falso — o correto é maior período significa menor \omega.

Passo 5

Agora avaliando as alternativas com base no que acabamos de deduzir:
a) Verdadeira — maior k ⇒ maior \omega (pela fórmula \omega=\sqrt{k/m}).
b) Falsa — maior m ⇒ menor \omega.
c) Falsa — amplitude (deslocamento inicial) não afeta \omega no oscilador harmônico linear.
d) Falsa — período maior implica \omega menor, pois T=2\pi/\omega.

Resposta

a)

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