Terceira Questão (2,5pts): Seja S a parte do plano 2 x+y-3 z=6 cuja projeção sobre o plano xy é o retângulo [0,2] \times[0,1]. Em S, considere a orientação para cima. Considere o campo vetorial \vec{F} dado por
\vec{F}(x, y, z)=\langle x+2 y, x+3 z, y+3 z\rangle
(a) (1,5 ponto) Calculc o fluxo de \vec{F} através de S.
(b) (1,0 ponto) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira de S, na orientação positiva.
Passo 1
Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado pede e os dados que temos.
A superfície S é a parte do plano 2x+y-3z=6 cuja projeção no plano xy é o retângulo D = [0,2]\times[0,1].
A orientação em S é “para cima” (ou seja, a componente z do vetor normal aponta para o sentido positivo de z).
O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\langle x+2y,\;x+3z,\;y+3z\rangle.
O enunciado pede:
(a) calcular o fluxo de \vec{F} através de S, isto é \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S};
(b) calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S com orientação positiva (fronteira induzida pela orientação para cima).
Passo 2
Vamos transformar o problema geométrico em integrais sobre o domínio D no plano xy. Como S é parte de um plano, podemos escrevê-lo como gráfico de uma função z=g(x,y). A fórmula padrão (muito usada em provas) para o elemento de área orientado de um gráfico z=g(x,y) é:
d\vec{S} = \bigl(-g_x,\,-g_y,\,1\bigr)\,dA,
onde g_x=\dfrac{\partial g}{\partial x}, g_y=\dfrac{\partial g}{\partial y} e dA é o elemento de área em xy. Assim o fluxo é
Explicando rápido por que essa fórmula funciona: parametrizando \vec{r}(x,y)=(x,y,g(x,y)) para (x,y)\in D, tem-se \vec{r}_x\times\vec{r}_y = (-g_x,-g_y,1), que é o vetor área orientado (não unitário). Esse produto fechou a conta.
Passo 3
Escrevemos z como função de x,y. Da equação do plano
Agora a parte (b): integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira \partial S com orientação positiva. Primeiro interpretamos a orientação positiva: como a superfície foi orientada para cima, a orientação positiva de \partial S é sentido anti-horário (counterclockwise) quando vista de cima (do lado positivo de z). Em vez de parametrizar as quatro arestas e somar as integrais, é bem mais rápido usar o Teorema de Stokes (bom para provas):
Fluxo de \vec{F} através de S (orientação para cima): -7.
Integral de linha de \vec{F} ao longo da fronteira de S com orientação positiva: \dfrac{2}{3}.
Força aí — você conseguiu! Essas estratégias (usar gráfico z=g(x,y) para fluxo e usar Stokes para circulação) são ferramentas que aparecem muito em prova e economizam tempo.