Uma bola de massa
é solta do topo de uma rampa inclinada, convertendo sua energia potencial gravitacional em energia cinética à medida que desce. Considere que
da energia mecảnica é dissipada devido à resistência do ar. Determine a velocidade da bola na base da rampa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma bola de massa $ m $ é solta do topo de uma rampa inclinada. À medida que ela desce, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética. Porém, 30% dessa energia mecânica é perdida por causa da resistência do ar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade da bola quando ela chegar na base da rampa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre energia potencial, energia cinética e como a resistência do ar afeta a energia total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ($ E_p $) de um objeto é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa da bola,
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $),
- $ h $ é a altura da rampa.
Quando a bola desce a rampa, essa energia potencial é convertida em energia cinética ($ E_k $), que é dada por:
onde $ v $ é a velocidade da bola.
Passo 3
Entretanto, não toda a energia potencial é convertida em energia cinética porque 30% dela é perdida devido à resistência do ar. Isso significa que apenas 70% da energia mecânica total é efetivamente convertida em movimento.
Então, a energia cinética na base da rampa será:
Substituindo $ E_p $ na equação, temos:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade $ v $. Primeiro, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados, já que ela aparece nos dois lados da equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar $ v² $:
Passo 5
Finalmente, para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A velocidade da bola na base da rampa é: