Uma bola de massa m é solta do topo de uma rampa inclinada, convertendo sua energia potencial gravitacional em energia cinética à medida que desce. Considere que 30 % da energia mecảnica é dissipada devido à resistência do ar. Determine a velocidade da bola na base da rampa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que uma bola de massa $ m $ é solta do topo de uma rampa inclinada. À medida que ela desce, a energia potencial gravitacional se transforma em energia cinética. Porém, 30% dessa energia mecânica é perdida por causa da resistência do ar. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a velocidade da bola quando ela chegar na base da rampa. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre energia potencial, energia cinética e como a resistência do ar afeta a energia total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional ($ E_p $) de um objeto é dada por:
Ep
onde:
  • $ m $ é a massa da bola,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $),
  • $ h $ é a altura da rampa.
Quando a bola desce a rampa, essa energia potencial é convertida em energia cinética ($ E_k $), que é dada por:
Ep = m cdot g cdot h ²
onde $ v $ é a velocidade da bola.

Passo 3

Entretanto, não toda a energia potencial é convertida em energia cinética porque 30% dela é perdida devido à resistência do ar. Isso significa que apenas 70% da energia mecânica total é efetivamente convertida em movimento.
Então, a energia cinética na base da rampa será:
Ek = 0,7 cdot Ep
Substituindo $ E_p $ na equação, temos:
Ep ²

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa equação para encontrar a velocidade $ v $. Primeiro, podemos cancelar a massa $ m $ dos dois lados, já que ela aparece nos dois lados da equação:
v ²
Multiplicando ambos os lados por 2 para isolar $ v² $:
m ²
12 v² = 0,7 cdot g cdot h ²

Passo 5

Finalmente, para encontrar $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
v

Resposta

A velocidade da bola na base da rampa é:
v = raiz1,4 cdot g cdot h

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