Informações relevantes dadas: os três vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} têm componentes explícitas; o vetor \mathbf{C} não tem componente em \mathbf{k} (ou seja, sua componente z é 0). Não há outras restrições ou dados a inferir.
Passo 2
Vamos revisar o que é o produto vetorial (cross product) e uma propriedade importante: linearidade/distributividade no segundo argumento. O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)
é definido por componentes como
Aqui cada componente é obtida combinando as componentes de \mathbf{u} e \mathbf{v} com essa regra (que vem da definição via determinante). Vou usar essa forma em componentes para provar a identidade pedida no item i).
Passo 3
Prova da distributividade (identidade para o item i)). Seja \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3). Primeiro calcule \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}). As componentes de \mathbf{v}+\mathbf{w} são (v_1+w_1,\; v_2+w_2,\; v_3+w_3). Então, pela fórmula,
Isso é exatamente a primeira componente de \mathbf{u}\times\mathbf{v} mais a primeira componente de \mathbf{u}\times\mathbf{w}.
Fazendo o mesmo para as outras duas componentes obtemos termo a termo que
Portanto a expressão pedida se simplifica para \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}). Essa é a propriedade distributiva do produto vetorial em relação à soma no segundo fator.
Passo 5
Passando ao cálculo numérico: queremos 3\,\mathbf{C}\cdot(2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}).
Antes de calcular diretamente, usamos propriedades de multiplicação escalar e do produto vetorial para simplificar a operação: (\alpha\mathbf{a})\times\mathbf{b} = \alpha(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{c}\cdot(\beta\mathbf{v})=\beta(\mathbf{c}\cdot\mathbf{v}).
Com isso,
Agora calculamos \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}). As componentes são: \mathbf{C} = (7,-8,0) (observe que peguei da informação do enunciado que \mathbf{C}=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}, então a componente em \mathbf{k} é 0),
e \mathbf{A}\times\mathbf{B} = (22,8,17).
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
Resumo didático rápido para a prova: quando vir sumas de produtos vetoriais do tipo \mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}, apresente logo \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) justificando a distributividade. Para produto escalar envolvendo um cruzamento como \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}), calcule \mathbf{A}\times\mathbf{B} por componentes (determinante), faça o produto escalar, e aplique fatores escalares no início para simplificar (como transformá-los em um único fator numérico).