i) \boldsymbol{u} \times \boldsymbol{v}+\boldsymbol{u} \times \boldsymbol{w};
22) Determine 3 \boldsymbol{C} .(2 \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B}) para os três vetores a seguir: \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{i}+3 \boldsymbol{j}-4 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{B}=-3 \boldsymbol{i} +4 \boldsymbol{j}+2 \boldsymbol{k} e \boldsymbol{C}=7 \boldsymbol{i}-8 \boldsymbol{j}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  1. Simplificar a expressão \mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w} (item i).
  2. Calcular 3\,\mathbf{C}\cdot(2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}) para os vetores dados:
\mathbf{A} = 2\mathbf{i}+3\mathbf{j}-4\mathbf{k},\quad \mathbf{B} = -3\mathbf{i}+4\mathbf{j}+2\mathbf{k},\quad \mathbf{C} = 7\mathbf{i}-8\mathbf{j}.
Informações relevantes dadas: os três vetores \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} têm componentes explícitas; o vetor \mathbf{C} não tem componente em \mathbf{k} (ou seja, sua componente z é 0). Não há outras restrições ou dados a inferir.

Passo 2

Vamos revisar o que é o produto vetorial (cross product) e uma propriedade importante: linearidade/distributividade no segundo argumento. O produto vetorial \mathbf{u}\times\mathbf{v} para
\mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)
é definido por componentes como
\mathbf{u}\times\mathbf{v} = \big(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1\big).
Aqui cada componente é obtida combinando as componentes de \mathbf{u} e \mathbf{v} com essa regra (que vem da definição via determinante). Vou usar essa forma em componentes para provar a identidade pedida no item i).

Passo 3

Prova da distributividade (identidade para o item i)). Seja \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3), \mathbf{w}=(w_1,w_2,w_3). Primeiro calcule \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}). As componentes de \mathbf{v}+\mathbf{w} são (v_1+w_1,\; v_2+w_2,\; v_3+w_3). Então, pela fórmula,
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = \big(u_2(v_3+w_3)-u_3(v_2+w_2),\; u_3(v_1+w_1)-u_1(v_3+w_3),\; u_1(v_2+w_2)-u_2(v_1+w_1)\big).

Passo 4

Agora distribuo cada diferença/soma dentro das componentes do passo anterior:
a primeira componente:
u_2v_3+u_2w_3 - (u_3v_2+u_3w_2) = (u_2v_3-u_3v_2) + (u_2w_3-u_3w_2).
Isso é exatamente a primeira componente de \mathbf{u}\times\mathbf{v} mais a primeira componente de \mathbf{u}\times\mathbf{w}.
Fazendo o mesmo para as outras duas componentes obtemos termo a termo que
\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) = (\mathbf{u}\times\mathbf{v}) + (\mathbf{u}\times\mathbf{w}).
Portanto a expressão pedida se simplifica para \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}). Essa é a propriedade distributiva do produto vetorial em relação à soma no segundo fator.

Passo 5

Passando ao cálculo numérico: queremos 3\,\mathbf{C}\cdot(2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}).
Antes de calcular diretamente, usamos propriedades de multiplicação escalar e do produto vetorial para simplificar a operação:
(\alpha\mathbf{a})\times\mathbf{b} = \alpha(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) e \mathbf{c}\cdot(\beta\mathbf{v})=\beta(\mathbf{c}\cdot\mathbf{v}).
Com isso,
3\,\mathbf{C}\cdot(2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 6\;\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}).
Ou seja, basta calcular primeiro \mathbf{A}\times\mathbf{B}, fazer o produto escalar com \mathbf{C} e multiplicar o resultado por 6.

Passo 6

Calculemos \mathbf{A}\times\mathbf{B} usando a definição via determinante de componentes. Vou mostrar o determinante para clareza:
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 3 & -4 \\\\ -3 & 4 & 2 \end{vmatrix}.
Agora desenvolvendo em componentes (regra de Sarrus / cofactores), temos:
primeira componente (coeficiente de \mathbf{i}):
3\cdot 2 - (-4)\cdot 4 = 6 - (-16) = 22.
segunda componente (coeficiente de \mathbf{j}, lembrar do sinal negativo ao desenvolver):
-(2\cdot 2 - (-4)\cdot(-3)) = -(4 - 12) = -(-8) = 8.
terceira componente (coeficiente de \mathbf{k}):
2\cdot 4 - 3\cdot(-3) = 8 - (-9) = 17.
Logo
\mathbf{A}\times\mathbf{B} = 22\mathbf{i} + 8\mathbf{j} + 17\mathbf{k}.

Passo 7

Agora calculamos \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}). As componentes são:
\mathbf{C} = (7,-8,0) (observe que peguei da informação do enunciado que \mathbf{C}=7\mathbf{i}-8\mathbf{j}, então a componente em \mathbf{k} é 0),
e \mathbf{A}\times\mathbf{B} = (22,8,17).
O produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes:
\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 7\cdot 22 + (-8)\cdot 8 + 0\cdot 17.
Calculemos termo a termo:
7\cdot 22 = 154,\qquad (-8)\cdot 8 = -64,\qquad 0\cdot 17 = 0.
Somando: 154 - 64 + 0 = 90.

Passo 8

Lembrando do fator 6 do passo 5, temos
3\,\mathbf{C}\cdot(2\,\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = 6\cdot \big(\mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\big) = 6\cdot 90 = 540.
Conferi as contas aritméticas: 7\cdot 22 = 154, 154-64=90, 6\cdot 90=540.

Passo 9

Resumo didático rápido para a prova: quando vir sumas de produtos vetoriais do tipo \mathbf{u}\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{w}, apresente logo \mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w}) justificando a distributividade. Para produto escalar envolvendo um cruzamento como \mathbf{C}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B}), calcule \mathbf{A}\times\mathbf{B} por componentes (determinante), faça o produto escalar, e aplique fatores escalares no início para simplificar (como transformá-los em um único fator numérico).

Resposta

\mathbf{u}\times(\mathbf{v}+\mathbf{w})
540

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