Se boldsymbol{u}=(3,-1,-2) e boldsymbol{v}=(2,4-1) e boldsymbol{w}= (-1, 0, 1), determine:
(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v}) \times \boldsymbol{w};

Passo 1

O enunciado dá os vetores \boldsymbol{u}=(3,-1,-2), \boldsymbol{v}=(2,4,-1) e \boldsymbol{w}=(-1,0,1) em \mathbb{R}^3 e pede o produto vetorial (\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w}. Vamos usar a definição de subtração de vetores e, em seguida, o determinante para calcular o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro calculamos a diferença
\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v} = (3,-1,-2) - (2,4,-1) = (3-2,\,-1-4,\,-2-(-1)) = (1,\,-5,\,-1).

Passo 3

Agora aplicamos a definição do produto vetorial em coordenadas. Para \boldsymbol{a}=(a_1,a_2,a_3) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2,b_3),
\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} =\bigl(a_2b_3 - a_3b_2,\,- (a_1b_3 - a_3b_1),\, a_1b_2 - a_2b_1\bigr).
Tomando \boldsymbol{a}=(1,-5,-1) e \boldsymbol{b}=(-1,0,1), temos
(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w} =\bigl((-5)\cdot1 - (-1)\cdot0,\, - \bigl(1\cdot1 - (-1)\cdot(-1)\bigr),\, 1\cdot0 - (-5)\cdot(-1)\bigr).
Calculando cada componente:
(-5)\cdot1 - (-1)\cdot0 = -5,
1\cdot1 - (-1)\cdot(-1) = 1 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad -0 = 0,
1\cdot0 - (-5)\cdot(-1) = 0 - 5 = -5.

Resposta

(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{w} = (-5,\,0,\,-5).

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