- Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que seu raio decresce a uma taxa constante.
A bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, assim
com
constante e r o raio da bolinha esférica.
volume da esfera é representado por
, derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo e substituindo
na primeira equação obtemos:
A bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, assim
Passo 1
O enunciado fala de uma bolinha esférica de naftalina cujo volume diminui por evaporação a uma taxa proporcional à área da superfície. O conteúdo envolvido é equações diferenciais e derivadas de funções geométricas (esfera). Vamos relacionar a variação do volume com a variação do raio.
Passo 2
Pela hipótese de proporcionalidade, temos
onde
é constante e
é o raio da esfera em função do tempo.
Passo 3
Sabendo que o volume de uma esfera é
derivamos ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Igualando as duas expressões para
, obtemos
mostrando que
é constante.