1. Se uma bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, mostre que seu raio decresce a uma taxa constante.
    A bolinha de naftalina evapora a uma taxa proporcional à área de sua superfície, assim
\frac{d V}{d t}=k A=k 4 \pi r^{2}
com k constante e r o raio da bolinha esférica. O volume da esfera é representado por V=\frac{4}{3} \pi r^{3}, derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo e substituindo \frac{d V}{d t} na primeira equação obtemos:
\frac{d V}{d t}=k 4 \pi r^{2}=4 \pi r^{2} \frac{d r}{d t} \Longrightarrow k=\frac{d r}{d t} \quad \text { constante }

Passo 1

O enunciado fala de uma bolinha esférica de naftalina cujo volume diminui por evaporação a uma taxa proporcional à área da superfície. O conteúdo envolvido é equações diferenciais e derivadas de funções geométricas (esfera). Vamos relacionar a variação do volume com a variação do raio.

Passo 2

Pela hipótese de proporcionalidade, temos
\frac{dV}{dt} \;=\; k\,A \;=\; k\,4\pi r^{2},
onde k é constante e r=r(t) é o raio da esfera em função do tempo.

Passo 3

Sabendo que o volume de uma esfera é
V = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3},
derivamos ambos os lados em relação a t:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\!\Bigl(\tfrac{4}{3}\pi r^{3}\Bigr) = 4\pi r^{2}\,\frac{dr}{dt}.

Passo 4

Igualando as duas expressões para \tfrac{dV}{dt}, obtemos
k\,4\pi r^{2} \;=\; 4\pi r^{2}\,\frac{dr}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dr}{dt} = k,
mostrando que \tfrac{dr}{dt} é constante.

Resposta

\displaystyle \frac{dr}{dt}=k, ou seja, o raio decresce a uma taxa constante.

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