1. Um ponto se move na circunferência x^{2}+y^{2}=a^{2} de tal modo que a componente x de sua velocidade é \frac{d x}{d t}=-y. Ache \frac{d y}{d t} e determine se o sentido do movimento é horário ou anti-horário.
Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com origem exatamente sobre o centro da circunferência. x e y representam as posições do ponto sobre a circunferência de raio a. Do Teorema de Pitágoras temos:
x^{2}+y^{2}=a^{2}
Derivando a equação acima em relação ao tempo obtemos:
x \frac{d x}{d t}+y \frac{d y}{d t}=0

Passo 1

O enunciado dá um ponto que se move na circunferência
x^{2}+y^{2}=a^{2}
com componente horizontal da velocidade \frac{dx}{dt}=-y. Precisamos usar diferenciação implícita para encontrar \frac{dy}{dt} e, depois, analisar o vetor velocidade para decidir se o movimento é horário ou anti-horário.

Passo 2

Derivando implicitamente
x^{2}+y^{2}=a^{2}
em relação ao tempo t, obtemos
x\,\frac{dx}{dt}+y\,\frac{dy}{dt}=0.

Passo 3

Substituindo \frac{dx}{dt}=-y na equação acima, vem
x\bigl(-y\bigr)+y\,\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad -yx + y\,\frac{dy}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad y\,\frac{dy}{dt}=xy.
Como y\neq0 quase sempre, divide-se por y e acha-se
\frac{dy}{dt}=x.

Passo 4

O vetor velocidade é
\Bigl(\frac{dx}{dt},\,\frac{dy}{dt}\Bigr)=(-y,\,x),
que corresponde à rotação do raio (x,y) em +90^\circ. Por exemplo, em (a,0) ele aponta para cima (0,a), o que indica movimento anti-horário.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dt}=x
O movimento ocorre no sentido anti-horário.

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