Uma bomba centrífuga com escoamento radial à entrada trabalha com água, produzindo uma vazão de
. O diâmetro do rotor é igual a
e as pás tem
de altura à saída, onde são radiais. Determine e a altura teórica e a potência consumida, considerando que a bomba opera a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Vazão:
(peguei do enunciado). - Diâmetro do rotor:
(peguei do enunciado). - Raio do rotor à posição de saída:
. - Altura (ou largura) das pás à saída:
(peguei do enunciado). - Rotação:
(peguei do enunciado). - Fluido: água. Usarei
e .
O enunciado pede:
- Determinar a altura teórica (carga hidráulica teórica) fornecida pela bomba,
. - Determinar a potência consumida (teórica) pela bomba,
.
Passo 2
Explicar a fórmula que vamos usar (Teorema de Euler para turbomáquinas) e as hipóteses aplicáveis.
O teorema de Euler para turbomáquinas diz que a energia por unidade de peso adicionada ao fluido (a altura ou carga
) é dada por
onde:
-
é a velocidade periférica da pá (em ); subscrito refere-se à seção de entrada e à seção de saída; -
é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido; -
é a aceleração da gravidade.
Agora as hipóteses do enunciado que simplificam a expressão:
- Escoamento radial à entrada implica que a componente tangencial absoluta na entrada é nula:
. - As pás são radiais à saída (as pás saem radialmente). Para pás radiais isso significa que a componente tangencial da velocidade relativa na saída é
. Usando a relação vetorial (velocidade absoluta = velocidade da pá + velocidade relativa), temos porque .
Substituindo essas simplificações em Euler:
Portanto, para o caso dado, a altura teórica é simplesmente
.
Passo 3
Calcular a velocidade periférica na saída
.
Primeiro converter
para
ou diretamente para
. A relação é
Substituindo
e
:
Vou calcular passo a passo (sem pular etapas):
Então
Passo 4
Calcular a altura teórica
.
Primeiro
:
Agora dividir por
:
Vou comentar de forma amigável: isso significa que, idealmente (sem perdas), a bomba eleva a água até uma coluna de cerca de
metros.
Passo 5
Calcular a potência teórica consumida pela bomba (potência hidráulica).
A potência hidráulica ideal (sem perdas) entregue à água é
onde:
-
é a densidade do fluido ( ); -
é a gravidade ( ); -
é a vazão ( ); -
é a altura obtida ( ).
Substituindo
,
,
e
:
Calcule passo a passo:
Passo 6
Verificação auxiliar (continuidade) — calcular a velocidade radial de saída e checar ordem de grandeza.
Área de escoamento na saída (circunferencial) aproximada:
Calcular:
Velocidade radial de saída
(velocidade média radial necessária para transportar
):
Comentário curto e encorajador: a velocidade radial obtida é da mesma ordem de grandeza da velocidade periférica
(que foi
), o que é razoável para este tipo de bomba — não há contradição óbvia entre geometria e vazão.