Uma bomba centrífuga com escoamento radial à entrada trabalha com água, produzindo uma vazão de 3 \times 10^{-1}\left[\mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}\right]. O diâmetro do rotor é igual a 250[\mathrm{~mm}] e as pás tem 30[\mathrm{~mm}] de altura à saída, onde são radiais. Determine e a altura teórica e a potência consumida, considerando que a bomba opera a 1000[\mathrm{rpm}].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Vazão: Q=3\times10^{-1}\\ \mathrm{m^{3}/s} (peguei do enunciado).
  • Diâmetro do rotor: D=250\\ \mathrm{mm}=0{,}250\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Raio do rotor à posição de saída: r_{2}=\dfrac{D}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m}.
  • Altura (ou largura) das pás à saída: b_{2}=30\\ \mathrm{mm}=0{,}030\\ \mathrm{m} (peguei do enunciado).
  • Rotação: n=1000\\ \mathrm{rpm} (peguei do enunciado).
  • Fluido: água. Usarei \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado pede:
  • Determinar a altura teórica (carga hidráulica teórica) fornecida pela bomba, H.
  • Determinar a potência consumida (teórica) pela bomba, P.

Passo 2

Explicar a fórmula que vamos usar (Teorema de Euler para turbomáquinas) e as hipóteses aplicáveis.
O teorema de Euler para turbomáquinas diz que a energia por unidade de peso adicionada ao fluido (a altura ou carga H) é dada por
H=\frac{U_{2}V_{t2}-U_{1}V_{t1}}{g},
onde:
  • U=r\omega é a velocidade periférica da pá (em \mathrm{m/s}); subscrito 1 refere-se à seção de entrada e 2 à seção de saída;
  • V_{t} é a componente tangencial (circunferencial) da velocidade absoluta do fluido;
  • g é a aceleração da gravidade.
Agora as hipóteses do enunciado que simplificam a expressão:
  • Escoamento radial à entrada implica que a componente tangencial absoluta na entrada é nula: V_{t1}=0.
  • As pás são radiais à saída (as pás saem radialmente). Para pás radiais isso significa que a componente tangencial da velocidade relativa na saída é W_{t2}=0. Usando a relação vetorial \mathbf{V}=\mathbf{U}+\mathbf{W} (velocidade absoluta = velocidade da pá + velocidade relativa), temos V_{t2}=U_{2}+W_{t2}=U_{2} porque W_{t2}=0.
Substituindo essas simplificações em Euler:
H=\frac{U_{2}V_{t2}-U_{1}V_{t1}}{g}=\frac{U_{2}\,U_{2}-U_{1}\cdot 0}{g}=\frac{U_{2}^{2}}{g}.
Portanto, para o caso dado, a altura teórica é simplesmente \displaystyle H=\dfrac{U_{2}^{2}}{g}.

Passo 3

Calcular a velocidade periférica na saída U_{2}.
Primeiro converter n para \omega ou diretamente para U_{2}. A relação é
U_{2}=r_{2}\omega=r_{2}\left(\frac{2\pi n}{60}\right).
Substituindo r_{2}=0{,}125\\ \mathrm{m} e n=1000\\ \mathrm{rpm}:
U_{2}=0{,}125\left(\frac{2\pi\cdot 1000}{60}\right).
Vou calcular passo a passo (sem pular etapas):
\frac{2\pi\cdot 1000}{60}=\frac{2000\pi}{60}=\frac{100\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\approx 104{,}719755\\ \mathrm{rad/s}.
Então
U_{2}=0{,}125\times 104{,}719755\\ \mathrm{m/s}\approx 13{,}08997\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a altura teórica H=\dfrac{U_{2}^{2}}{g}.
Primeiro U_{2}^{2}:
U_{2}^{2}\approx (13{,}08997)^{2}\approx 171{,}35\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora dividir por g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
H=\frac{171{,}35}{9{,}81}\approx 17{,}47\\ \mathrm{m}.
Vou comentar de forma amigável: isso significa que, idealmente (sem perdas), a bomba eleva a água até uma coluna de cerca de 17{,}5 metros.

Passo 5

Calcular a potência teórica consumida pela bomba (potência hidráulica).
A potência hidráulica ideal (sem perdas) entregue à água é
P=\rho\,g\,Q\,H,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}});
  • g é a gravidade ( \mathrm{m/s^{2}});
  • Q é a vazão ( \mathrm{m^{3}/s});
  • H é a altura obtida ( \mathrm{m}).
Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, Q=0{,}3\\ \mathrm{m^{3}/s} e H\approx 17{,}47\\ \mathrm{m}:
P=1000\times 9{,}81\times 0{,}3\times 17{,}47\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
9{,}81\times 0{,}3=2{,}943,
2{,}943\times 17{,}47\approx 51{,}42,
P\approx 51{,}42\times 10^{3}\\ \mathrm{W}=51{,}42\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Verificação auxiliar (continuidade) — calcular a velocidade radial de saída e checar ordem de grandeza.
Área de escoamento na saída (circunferencial) aproximada:
A_{2}=2\pi r_{2} b_{2}=2\pi(0{,}125)(0{,}030).
Calcular:
A_{2}=2\pi\times 0{,}00375\approx 0{,}02356\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade radial de saída V_{r2} (velocidade média radial necessária para transportar Q):
V_{r2}=\frac{Q}{A_{2}}=\frac{0{,}3}{0{,}02356}\approx 12{,}73\\ \mathrm{m/s}.
Comentário curto e encorajador: a velocidade radial obtida é da mesma ordem de grandeza da velocidade periférica U_{2} (que foi \approx 13{,}09\\ \mathrm{m/s}), o que é razoável para este tipo de bomba — não há contradição óbvia entre geometria e vazão.

Resposta

H \approx 17{,}47\\ \mathrm{m}
P \approx 5{,}142\times 10^{4}\\ \mathrm{W}\\ ( \approx 51{,}4\\ \mathrm{kW})

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