Questão 03 ( 2,8 pontos) - Uma placa de Petri de diâmetro interno D_{i}=5 \mathrm{~cm} contém água pura. A placa foi deixada aberta em contato com ar estagnado durante 30 h , e a massa de água diminuiu de 39 g para 30 g . Considere que o processo de transferência de massa ocorre em regime isotérmico, que o fluxo de transferência de massa é puramente difusivo e constante ao longo do tempo, e que ele depende apenas das condições do ar e da água (despreze resistências convectivas e variações de concentração no ar). Com base nessas hipóteses, responda:
a) Qual o fluxo mássico de água para o ar?
b) Qual o fluxo molar de água para o ar?
c) Qual o tempo necessário para que a placa seque completamente, partindo de 39 g de água.
d) Se o mesmo experimento for realizado com uma placa de Petri de diâmetro interno \mathbf{D}_{\mathbf{i}}=10 \mathrm{~cm}, contendo a mesma massa inicial de água, qual o tempo necessário para que a placa seque nas mesmas condições?

Passo 1

O enunciado pede as seguintes quantidades:
  • (a) o fluxo mássico de água para o ar;
  • (b) o fluxo molar de água para o ar;
  • (c) o tempo necessário para secar completamente a placa, partindo de 39\\ \mathrm{g} de água (mesmas condições iniciais da parte (a));
  • (d) o tempo de secagem se a placa tiver diâmetro interno \,D_{i}=10\\ \mathrm{cm}\, e mesma massa inicial de 39\\ \mathrm{g}.
Informações e hipóteses fornecidas (pegar do enunciado):
  • Diâmetro interno inicial da placa: D_{i}=5\\ \mathrm{cm}.
  • Massa de água inicial: passou de 39\\ \mathrm{g} para 30\\ \mathrm{g} em 30\\ \mathrm{h}.
  • Transferência de massa em regime isotérmico, puramente difusiva, fluxo constante ao longo do tempo e dependente apenas das condições do ar e da água (desprezar resistências convectivas e variações de concentração no ar).
  • Massa molar da água que usarei: M_{\mathrm{H_2O}}=18{,}015\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=0{,}018015\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}.

Passo 2

Converter unidades e calcular a área da superfície livre da água (assumo que a água está exposta pela área circular do prato).
  • Converter diâmetro para metros: D_{i}=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Raio: r=\dfrac{D_{i}}{2}=0{,}025\\ \mathrm{m}.
  • Área da superfície exposta (círculo): A=\pi r^{2}=\pi\left(0{,}025\right)^{2}=\pi\cdot 6{,}25\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular numericamen­te: A\approx \pi\cdot 6{,}25\times10^{-4}\approx 1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Converter tempo observado para segundos: 30\\ \mathrm{h}=30\cdot3600=108000\\ \mathrm{s}.
  • Massa perdida no intervalo: \Delta m=39\\ \mathrm{g}-30\\ \mathrm{g}=9\\ \mathrm{g}=0{,}009\\ \mathrm{kg}.
Explicação curta sobre área e unidades: a área precisa estar em \mathrm{m^{2}} para que o fluxo em \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}} saia correto; o tempo em segundos para consistência do SI.

Passo 3

Calcular o fluxo mássico por unidade de área (fluxo superficial) supondo que o fluxo é constante no tempo e uniforme sobre a área:
  • Definição utilizada: o fluxo mássico superficial J_{m} é a massa que sai por unidade de área por unidade de tempo, ou seja J_{m}=\dfrac{\text{massa perdida}}{\text{área}\times\text{tempo}}=\dfrac{\Delta m}{A\;t}.á
  • Substituindo os valores que calculamos: J_{m}=\dfrac{0{,}009\\ \mathrm{kg}}{(1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}})\cdot(108000\\ \mathrm{s})}.
  • Fazer a conta passo a passo: primeiro calcular A\cdot t:
A\cdot t = 1{,}9635\times10^{-3}\cdot 108000 \approx 212{,}058\\ \mathrm{m^{2}\,s}.
  • Agora J_{m}=\dfrac{0{,}009}{212{,}058}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}\approx 4{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Comentário didático: esse valor significa que, em cada metro quadrado dessa superfície exposta, aproximadamente 4,24\times10^{-5}\\ \mathrm{kg} de água passam para o ar a cada segundo. Como a área real é pequena, a massa total por segundo será muito pequena.

Passo 4

Converter o fluxo mássico em fluxo molar:
  • Relação entre fluxo mássico e fluxo molar por unidade de área: J_{n}=\dfrac{J_{m}}{M_{\mathrm{H_2O}}},
onde J_{n} é o fluxo molar superficial em \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}} e M_{\mathrm{H_2O}} é a massa molar em \mathrm{kg\,mol^{-1}}.
  • Substituindo: J_{n}=\dfrac{4{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}}{0{,}018015\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}}.
  • Calculando: J_{n}\approx 2{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Didática curta: dividir o fluxo em kg/s por massa de uma mol de água (kg/mol) dá quantos mols passam por segundo por metro quadrado.

Passo 5

Calcular o tempo necessário para secar completamente a placa (mesmo prato D_{i}=5\\ \mathrm{cm}), partindo de 39\\ \mathrm{g}:
  • Relação entre fluxo superficial J_{m} e taxa de perda de massa total (vazão mássica): \dot{m}=J_{m}\,A.
  • Podemos usar diretamente proporção porque o fluxo foi constante: se \Delta m=0{,}009\\ \mathrm{kg} foi removido em 108000\\ \mathrm{s}, então para remover m_{\text{inicial}}=0{,}039\\ \mathrm{kg} o tempo t_{\text{secagem}} será
t_{\text{secagem}}=108000\\ \mathrm{s}\cdot\dfrac{0{,}039\\ \mathrm{kg}}{0{,}009\\ \mathrm{kg}}.
  • Calcular a razão das massas: \dfrac{0{,}039}{0{,}009}= \dfrac{39}{9}= \dfrac{13}{3}\approx 4{,}3333.
  • Então t_{\text{secagem}}=108000\cdot \dfrac{13}{3}=468000\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas: 468000\\ \mathrm{s} \div 3600\\ \mathrm{s\,h^{-1}} = 130\\ \mathrm{h}.
  • Converter para dias (opcional): 130\\ \mathrm{h}\approx 5{,}42\\ \mathrm{dias}.
Explicação: a razão é direta porque o fluxo foi assumido constante e a área não mudou; para evaporar mais massa precisa de tempo proporcional a essa massa.

Passo 6

Calcular o tempo para secar se a placa tiver D_{i}=10\\ \mathrm{cm} mantendo as mesmas condições de fluxo superficial:
  • Novo diâmetro: D_{i}'=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}. Novo raio: r'=\dfrac{D_{i}'}{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Nova área: A'=\pi (0{,}05)^{2}=\pi\cdot 2{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 7{,}85398\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Observação sobre relação entre áreas: \dfrac{A'}{A}=\left(\dfrac{r'}{r}\right)^{2}=\left(\dfrac{0{,}05}{0{,}025}\right)^{2}=2^{2}=4. Ou seja, dobrar o diâmetro quadruplica a área.
  • Como o fluxo superficial J_{m} (kg,m{-2},s{-1}) permanece o mesmo nas mesmas condições, a vazão mássica total \dot{m}'=J_{m}A' será 4 vezes a anterior. Logo o tempo necessário para secar a mesma massa é um quarto do tempo anterior:
t'=\dfrac{t_{\text{5 cm}}}{4}=\dfrac{468000\\ \mathrm{s}}{4}=117000\\ \mathrm{s}.
  • Converter para horas: 117000\\ \mathrm{s}\div3600\approx 32{,}5\\ \mathrm{h} (aproximadamente 1{,}35 dias).
Didática: multiplicar a área aumenta a vazão proporcionalmente, então o tempo cai na mesma proporção inversa.

Passo 7

Breve verificação de consistência e interpretação prática:
  • A massa perdida em 30 h foi 9\\ \mathrm{g}, ou seja uma taxa média global de 9\\ \mathrm{g}/(30\\ \mathrm{h})=0{,}3\\ \mathrm{g/h}. Convertendo isso para unidades SI obtém-se o mesmo resultado que usamos: \dot{m}=0{,}009/108000\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}\approx 8{,}33\times10^{-8}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}}, e dividindo por A retorna J_{m} calculado.
  • As respostas finais seguem das contas acima. Força aí — mantendo as hipóteses do enunciado (fluxo constante e puramente difusivo) os resultados são consistentes.

Resposta

(a) J_{m}\approx 4{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{kg\,m^{-2}\,s^{-1}}
(b) J_{n}\approx 2{,}36\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}
(c) t_{\text{secagem}}=468000\\ \mathrm{s}=130\\ \mathrm{h} (aprox. 5{,}42\\ \mathrm{dias})
(d) t' =117000\\ \mathrm{s}=32{,}5\\ \mathrm{h} (aprox. 1{,}35\\ \mathrm{dias})

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