5.1.3 Uma bomba está instalada em uma tubulaçịo de 100 m para elevar água a 20 m de um reservatório A para um reservatório B. O tubo é de concreto áspero, com diâmetro de 80 cm . A descarga do projeto é 2,06 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Determine a eficiência geral do sistema da bomba se a potência requerida pelo motor for de 800 kW .

Passo 1

O enunciado pede a eficiência geral de uma bomba que eleva água de um reservatório A para um reservatório B com diferença de cota de 20 m. A tubulação tem comprimento L=100 m, diâmetro D=0,80 m e é de concreto áspero. A vazão é Q=2,06 m^{3}/s e a potência do motor é P_{\text{motor}}=800 kW. Para resolver, vamos calcular a perda de carga por atrito usando Darcy–Weisbach e a fórmula de Swamee–Jain, obter a altura manométrica total H, calcular a potência hidráulica P_h e então a eficiência \eta=P_h/P_{\text{motor}}.

Passo 2

Calculamos a velocidade média na tubulação. A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}80)^2}{4} \approx 0{,}5027\\ \text{m}^2.
Logo,
v = \frac{Q}{A} = \frac{2{,}06}{0{,}5027} \approx 4{,}10\\ \text{m/s}.

Passo 3

Estimamos o fator de atrito f. Tomamos rugosidade absoluta típica do concreto \varepsilon = 1{,}5\times10^{-3} m. O número de Reynolds é
Re = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{4{,}10\times0{,}80}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 3,28\times10^6,
logo escoamento turbulento. Pela fórmula de Swamee–Jain
f = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \tfrac{5{,}74}{Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2} \approx 0{,}0231.

Passo 4

A perda de carga por atrito é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0{,}0231\times\frac{100}{0{,}8}\times\frac{4{,}10^2}{2\times9{,}81} \approx 2{,}46\\ \text{m}.

Passo 5

A altura manométrica total que a bomba deve vencer é
H = \Delta z + h_f = 20 + 2{,}46 = 22{,}46\\ \text{m}.

Passo 6

A potência hidráulica fornecida ao fluido é
P_h = \rho\,g\,Q\,H = 1000\times9{,}81\times2{,}06\times22{,}46 \approx 4,54\times10^5\\ \text{W}\approx 453{,}6\\ \text{kW}.

Passo 7

A eficiência geral da bomba é
\eta = \frac{P_h}{P_{\text{motor}}} = \frac{453{,}6}{800} \approx 0{,}567 \quad\Rightarrow\quad 56{,}7\%.

Resposta

A eficiência geral da bomba é aproximadamente 56,7\%.

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