5.1.5 O impulsor de uma bomba possui raio externo de 50 cm , raio interno de 15 cm e palhetas com aberturas uniformes (tamanho) de 20 cm . Quando o impulsor gira a uma velocidade angular de 450 rpm, a água sai do impulsor com velocidade absoluta de 45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. O ângulo de 55^{\circ} da água que sai é medido a partir da linha radial que surge do centro do impulsor. Determine o torque gerado pelo fluxo de saída.

Passo 1

O problema é de um escoamento radial em um impulsor de bomba, em que a água sai entre as palhetas de raio interno r_1=0{,}15\:\mathrm{m} e raio externo r_2=0{,}50\:\mathrm{m}. A altura axial do canal entre as palhetas é h=0{,}20\:\mathrm{m}. O impulsor gira a 450\:\mathrm{rpm} e, na saída, a água tem velocidade absoluta V=45\:\mathrm{m/s} formando ângulo \theta=55^\circ em relação à linha radial. Queremos o torque M fornecido à água, usando o teorema do momento angular:
M = \dot m\,(r_2\,V_{u2} - r_1\,V_{u1})
onde V_{u} é a componente tangencial da velocidade. Aqui vamos assumir que não há energia de rotação na entrada ( V_{u1}\approx0 ).

Passo 2

Calcular a velocidade angular do impulsor:
\omega = 450\:\mathrm{rpm}\times\frac{2\pi}{60} = 7{,}5\:\mathrm{s^{-1}}\times 2\pi = 15\pi\:\mathrm{rad/s}\approx47{,}12\:\mathrm{rad/s}.

Passo 3

Decompor V=45\:\mathrm{m/s} em componentes radial e tangencial na saída:
V_{u2} = V\,\sin\theta = 45\sin(55^\circ)\approx45\times0{,}8192=36{,}86\:\mathrm{m/s},
V_{r2} = V\,\cos\theta = 45\cos(55^\circ)\approx45\times0{,}5736=25{,}81\:\mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a vazão volumétrica Q aproximando o escoamento uniforme na seção anular de saída, usando raio médio r_m=(r_1+r_2)/2=0{,}325\:\mathrm{m}:
Q = \textstyle 2\pi\,r_m\,h\,V_{r2} =2\pi\times0{,}325\times0{,}20\times25{,}81 \approx10{,}54\:\mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Determinar a vazão mássica \dot m com \rho=1000\:\mathrm{kg/m^3}:
\dot m = \rho\,Q = 1000\times10{,}54 \approx1,054\times10^4\:\mathrm{kg/s}.

Passo 6

Aplicar o teorema do momento angular, com V_{u1}\approx0:
M = \dot m\,(r_2\,V_{u2} - r_1\times0) =1{,}054\times10^4\times(0{,}50\times36{,}86) \approx1{,}94\times10^5\:\mathrm{N\cdot m}.

Resposta

O torque gerado pelo fluxo de saída é aproximadamente
M \approx 1{,}94\times10^5\:\mathrm{N\cdot m}.

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