Uma bomba operando a 1750 rpm , fornece 98 \mathrm{~d} / \mathrm{s}, com uma altura manométrica de 50 m . Conhecendo que \gamma=9810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Calcular:
a. A potência útil para esta condição;
b. A vazão, altura manométrica e potência útil; correspondentes quando a bomba estiver funcionando com rotação de 3800 rpm ;
c. A rotação específica da bomba.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Rotação inicial: n_1 = 1750\\ \mathrm{rpm}.
  • Vazão indicada: 98\\ \mathrm{d/s}. Aqui existe uma pequena ambiguidade sobre o símbolo d. Vou interpretar d como \mathrm{dm}^3 (ou seja, litros), que é a notação comum: 1\\ \mathrm{dm}^3 = 1\\ \mathrm{L}. Portanto a vazão inicial é Q_1 = 98\\ \mathrm{L/s}.
  • Altura manométrica inicial: H_1 = 50\\ \mathrm{m}.
  • Peso específico do fluido: \gamma = 9810\\ \mathrm{N/m^3}.
Conversões que vou usar:
  • 1\\ \mathrm{L} = 1\\ \mathrm{dm}^3 = 10^{-3}\\ \mathrm{m^3}. Logo
Q_1 = 98\\ \mathrm{L/s} = 98\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0,098\\ \mathrm{m^3/s}.
O que o enunciado pede:
a) A potência útil para a condição inicial ( n_1, Q_1, H_1).
b) Quando a bomba gira a n_2 = 3800\\ \mathrm{rpm}: calcular a vazão Q_2, a altura H_2 e a potência útil P_{u2}.
c) A rotação específica (speed específico) da bomba.

Passo 2

A fórmula que relaciona potência hidráulica (potência útil entregue ao fluido) com vazão, altura e peso específico é
P_u = \gamma\, Q\, H.
Explicando cada termo:
  • \,P_u é a potência útil transferida ao fluido, em \mathrm{W} (N/s).
  • \,\gamma é o peso específico do fluido, em \mathrm{N/m^3} (no enunciado \gamma=9810\\ \mathrm{N/m^3}).
  • \,Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^3/s}.
  • \,H é a altura manométrica em \mathrm{m}.
A ideia física: \gamma Q é a força peso por segundo (N/s) que é elevada por uma altura H, portanto N/s×m = W.
Agora aplico a fórmula para a condição inicial.

Passo 3

Cálculo da potência útil inicial passo a passo.
Sabemos que Q_1 = 0,098\\ \mathrm{m^3/s}, H_1 = 50\\ \mathrm{m} e \gamma = 9810\\ \mathrm{N/m^3}. Então
P_{u1} = \gamma\,Q_1\,H_1 = 9810 \times 0,098 \times 50.
Faço as operações em etapas:
0,098 \times 50 = 4,9,
9810 \times 4,9 = 9810 \times (5 - 0,1) = 9810\times 5 - 9810\times 0,1 = 49\,050 - 981 = 48\,069.
Portanto
P_{u1} = 48\,069\\ \mathrm{W} = 48,069\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

Agora a parte (b): quando a rotação muda para n_2 = 3800\\ \mathrm{rpm} usamos as leis de afinidade (affinity laws) para bombas centrífugas (válidas quando a geometria é a mesma e o ponto de operação está na mesma parte da curva):
Leis de afinidade (intuição rápida):
  • A velocidade linear das pás é proporcional à rotação n. Logo a vazão, que é proporcional à velocidade do fluido que é impulsionada pela pá, escala com n:
Q \propto n \quad\Rightarrow\quad \frac{Q_2}{Q_1} = \frac{n_2}{n_1}.
  • A altura manométrica (energia por unidade de peso) escala como o quadrado da velocidade, portanto
H \propto n^2 \quad\Rightarrow\quad \frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^{2}.
  • A potência hidráulica é \gamma Q H, portanto escala como n^3:
P_u \propto n^3 \quad\Rightarrow\quad \frac{P_{u2}}{P_{u1}} = \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^{3}.
Essas relações são muito úteis em prova porque permitem calcular Q_2,H_2,P_{u2} diretamente a partir dos valores iniciais.

Passo 5

Calcular o fator de rotação e aplicar às grandezas.
Razão de rotações:
k = \frac{n_2}{n_1} = \frac{3800}{1750}.
Simplificando a fração:
\frac{3800}{1750} = \frac{76}{35}\approx 2,171428571.
Agora as relações:
Q_2 = Q_1\,k, \qquad H_2 = H_1\,k^{2}, \qquad P_{u2} = P_{u1}\,k^{3}.

Passo 6

Cálculo numérico de Q_2, H_2 e P_{u2}.
Primeiro a vazão:
Q_2 = 0,098 \times \frac{76}{35} = 0,098 \times 2,171428571\ldots = 0,212785714\ldots\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando convenientemente:
Q_2 \approx 0,21279\\ \mathrm{m^3/s} = 212,79\\ \mathrm{L/s}.
Agora a altura:
k^{2} = \left(\frac{76}{35}\right)^{2} = \frac{5776}{1225}\approx 4,716326531,
H_2 = 50 \times 4,716326531\ldots = 235,81632653\ldots\\ \mathrm{m}.
Arredondando:
H_2 \approx 235,82\\ \mathrm{m}.
Agora a potência usando P_{u2}=P_{u1}k^{3}. Primeiro k^{3}:
k^{3} = \left(\frac{76}{35}\right)^{3} \approx 10,238507289\ldots
Usando P_{u1}=48\,069\\ \mathrm{W}:
P_{u2} = 48\,069 \times 10,238507289\ldots \approx 492\,154,8\\ \mathrm{W}.
Arredondando:
P_{u2} \approx 492\,155\\ \mathrm{W} = 492,155\\ \mathrm{kW}.
Observação alternativa (verificação): também daria o mesmo resultado calculando \gamma Q_2 H_2:
\gamma Q_2 H_2 = 9810 \times 0,212785714\ldots \times 235,81632653\ldots \approx 492\,155\\ \mathrm{W},
confirmando a consistência.

Passo 7

Parte (c): rotação específica (specific speed). Vou usar a forma usual dimensional de rotação específica para bombas centrífugas, que é
N_s = n \,\frac{\sqrt{Q}}{H^{3/4}}.
Explicando:
  • N_s é a rotação específica da bomba. É uma medida que relaciona a rotação com as características de vazão e altura, e é usada para classificar o tipo de impulso (axial, misto, radial) da bomba.
  • n deve estar em \mathrm{rpm} (quando se usa esta forma prática), Q em \mathrm{m^3/s} e H em \mathrm{m}. O resultado tem unidade numérica coerente com rpm (é usualmente tratado como um número adimensional às vezes citado com “rpm”).
Calculamos com os valores iniciais n_1=1750\\ \mathrm{rpm}, Q_1=0,098\\ \mathrm{m^3/s}, H_1=50\\ \mathrm{m}.
Primeiro \sqrt{Q_1}:
\sqrt{Q_1} = \sqrt{0,098}\approx 0,31311\\ (\mathrm{m^{3/2}/s^{1/2}}).
Agora H_1^{3/4}:
H_1^{3/4} = 50^{3/4} \approx 18,811\\ (\mathrm{m^{3/4}}).
Agora o N_s:
N_s = 1750 \times \frac{0,31311}{18,811} \approx 1750 \times 0,016620\ldots \approx 29,07.
Arredondando:
N_s \approx 29,07\\ (\text{unidade prática, ver nota sobre unidades}).á
Interpretação curta: esse valor de N_s indica o tipo de rotor (valores baixos correspondem a rotores mais radiais, valores altos a rotores mais axiais), mas aqui o importante é saber calcular.

Passo 8

Pequeno recapitulando (sem repetir cálculos): obtivemos a potência inicial com a fórmula \,P_u=\gamma QH, usamos as leis de afinidade para escalar Q,H,P com a rotação e, por fim, calculamos a rotação específica com a fórmula prática mostrada acima.
Força final: está indo bem — muita coisa em pouco tempo é assustadora, mas dominar estas fórmulas e saber aplicá-las é já metade da prova ganha!

Resposta

a) P_{u1} = 48\,069\\ \mathrm{W} = 48,069\\ \mathrm{kW}
b) Q_2 \approx 0,21279\\ \mathrm{m^3/s}\\ (212,79\\ \mathrm{L/s}),\quad H_2 \approx 235,82\\ \mathrm{m},\quad P_{u2} \approx 492\,155\\ \mathrm{W} = 492,155\\ \mathrm{kW}
c) N_s \approx 29,07

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