[6,0 pontos] Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}, tem as seguintes dimensões:
Parâmetro Entrada Saída
Raio (\mathrm{mm}) 80 180
Largura da pá (\mathrm{mm}) 9 7
Ângulo da pá 25 40
Considerando a modelagem teórica pela equação de Euler, determine:
a) A rotação de projeto deste motor para que a componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula.
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial).
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em mCA.
d) A potência mecânica teórica necessária à essa bomba, em kW .
e) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se as tubulações de sucção e descarga apresentarem o mesmo diâmetro e estiverem alinhadas.
f) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se o diâmetro da tubulação de sucção for o dobro do diâmetro da tubulação de descarga.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Vazão: Q=30\\ \mathrm{L/s}=0,03\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Raio de entrada: r_1=80\\ \mathrm{mm}=0,08\\ \mathrm{m}.
  • Raio de saída: r_2=180\\ \mathrm{mm}=0,18\\ \mathrm{m}.
  • Largura da pá na entrada: b_1=9\\ \mathrm{mm}=0,009\\ \mathrm{m}.
  • Largura da pá na saída: b_2=7\\ \mathrm{mm}=0,007\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo da pá na entrada: \beta_1=25^\circ.
  • Ângulo da pá na saída: \beta_2=40^\circ.
O enunciado pede:
a) A rotação de projeto (em \mathrm{rpm}) para que a componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula ( V_{u1}=0).
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial), i.e. \alpha_2.
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em \mathrm{mCA} (metros de coluna de água).
d) A potência mecânica teórica necessária, em \mathrm{kW}.
e) O aumento de pressão teórico (em \mathrm{kPa}) se as tubulações de sucção e descarga tiverem o mesmo diâmetro e estiverem alinhadas.
f) O aumento de pressão teórico (em \mathrm{kPa}) se o diâmetro da tubulação de sucção for o dobro do diâmetro da tubulação de descarga.
Constantes que usarei (valores usuais para água e gravidade):
  • Densidade: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Gravidade: g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Conceitos e relações que vou usar (explicando devagar, como numa aula rápida):
  1. Área de passagem (seção meridional) na borda do rotor: para um rotor com largura b na circunferência de raio r a área útil de escoamento é
A = 2\pi r b.
A velocidade meridional (radial/meridional) média nessa seção é
V_m = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{2\pi r b}.
Isto é continuidade: vazão é área vezes velocidade média.
  1. Triângulo de velocidades na entrada (convencional em turbomáquinas):
  • U = \omega r é a velocidade tangencial da pá (velocidade periférica).
  • A componente tangencial da velocidade absoluta do fluido é V_u.
  • A componente meridional é V_m.
  • O ângulo da pá \beta (medido entre a pá e a tangente) relaciona-se com a velocidade relativa W por
\tan\beta = \frac{V_m}{U - V_u},
adotando a convenção usual (para bomba centrífuga). Esta fórmula vem do triângulo: componente tangencial relativa é U - V_u e componente meridional relativa é V_m.
  1. Condição pedida em (a): “componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula” significa V_{u1}=0. Substituindo na equação acima:
\tan\beta_1 = \frac{V_{m1}}{U_1} \quad\Rightarrow\quad U_1 = \frac{V_{m1}}{\tan\beta_1}.
Com U_1 conhecido, a rotação é \omega = U_1/r_1 e N=\omega/(2\pi) em rotações por segundo; multiplicando por 60 obtemos \mathrm{rpm}.
  1. Na saída, assumindo que o escoamento relativo segue a pá (isto é, não há grande incidência), vale
\tan\beta_2 = \frac{V_{m2}}{U_2 - V_{u2}},
daí
V_{u2} = U_2 - \frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}.
O ângulo absoluto de saída \alpha_2 (medido a partir da direção tangencial) satisfaz
\tan\alpha_2 = \frac{V_{m2}}{V_{u2}}.
  1. Equação de Euler para bomba (carga ideal produzida):
H = \frac{U_2 V_{u2} - U_1 V_{u1}}{g}.
Como pediram V_{u1}=0, isso simplifica para
H = \frac{U_2 V_{u2}}{g}.
  1. Potência hidráulica (teórica) fornecida ao fluido:
P = \rho g Q H.
Se pedirem potência mecânica necessária e negligenciando perdas, usa-se a mesma expressão.
  1. Aumento de pressão entre sucção e descarga (variação de pressão estática) relaciona-se com a altura de carga por
\Delta p = \rho g H
quando não há variação de velocidade ou diferença de cota entre sucção e descarga. Se houver diferença de velocidades médias entre sucção e descarga (mesmo plano), a correção é a diferença de energia cinética:
\Delta p = \rho g H + \tfrac{1}{2}\rho\left(V_{\text{suc}}^{2} - V_{\text{desc}}^{2}\right).
(Assumindo tubulações alinhadas na mesma cota e sem considerar perdas por atrito.)
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os dados.

Passo 3

Cálculo do fluxo meridional na entrada e determinação de U_1 e da rotação (parte a).
Área de entrada:
A_1 = 2\pi r_1 b_1 = 2\pi(0,08)(0,009)=0,0045239\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade meridional na entrada:
V_{m1}=\frac{Q}{A_1}=\frac{0,03}{0,0045239}=6,634\\ \mathrm{m/s}.
Condição V_{u1}=0 implica
U_1=\frac{V_{m1}}{\tan\beta_1}=\frac{6,634}{\tan 25^\circ}.
Calcule \tan25^\circ\approx0,4663077. Então
U_1=\frac{6,634}{0,4663077}=14,229\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade angular e rotação:
\omega=\frac{U_1}{r_1}=\frac{14,229}{0,08}=177,86\\ \mathrm{rad/s}.
N=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{177,86}{2\pi}=28,31\\ \mathrm{s^{-1}}=28,31\times60=1698,6\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando de forma prática para projeto: N\approx1700\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Cálculo do ângulo absoluto de saída \alpha_2 (parte b).
Área e velocidade meridional na saída:
A_2=2\pi r_2 b_2=2\pi(0,18)(0,007)=0,0079208\\ \mathrm{m^2}.
V_{m2}=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,03}{0,0079208}=3,7879\\ \mathrm{m/s}.
Velocidade periférica na saída:
U_2=\omega r_2=(177,86)(0,18)=32,0148\\ \mathrm{m/s}.
Usando a relação no passo 2 para a saída:
V_{u2}=U_2-\frac{V_{m2}}{\tan\beta_2}.
Com \tan40^\circ\approx0,8390996,
V_{u2}=32,0148-\frac{3,7879}{0,8390996}=32,0148-4,5169=27,4979\\ \mathrm{m/s}.
O ângulo absoluto de saída \alpha_2 (medido a partir da tangente) é
\tan\alpha_2=\frac{V_{m2}}{V_{u2}}=\frac{3,7879}{27,4979}=0,13774,
logo
\alpha_2=\arctan(0,13774)\approx7,86^\circ.

Passo 5

Cálculo da altura de carga teórica H (parte c) usando Euler.
Como V_{u1}=0,
H=\frac{U_2 V_{u2}}{g}=\frac{(32,0148)(27,4979)}{9,81}= \frac{880,48}{9,81}=89,75\\ \mathrm{m}.
Portanto a carga teórica é H\approx89,8\\ \mathrm{mCA}.

Passo 6

Cálculo da potência mecânica teórica (parte d).
Potência teórica:
P=\rho g Q H=(1000)(9,81)(0,03)(89,75)=26435\\ \mathrm{W}=26,435\\ \mathrm{kW}.
Arredondando: P\approx26,44\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Aumento de pressão teórico quando sucção e descarga têm o mesmo diâmetro e estão alinhadas (parte e).
Se as tubulações têm o mesmo diâmetro e estão à mesma cota, as velocidades médias nas duas tubulações são iguais, então não há termo de diferença de energia cinética; assim
\Delta p=\rho g H.
Calculando:
\Delta p=(1000)(9,81)(89,75)=880478\\ \mathrm{Pa}=880,48\\ \mathrm{kPa}.

Passo 8

Aumento de pressão quando o diâmetro da tubulação de sucção é o dobro do diâmetro da tubulação de descarga (parte f).
Explicação e suposição necessária: o enunciado dá apenas a razão entre os diâmetros, não o diâmetro absoluto. Para obter um valor numérico, vou assumir que a tubulação de descarga tem área igual à área de passagem do rotor na saída A_2 (isto é, a tubulação está dimensionada para receber o escoamento na saída do rotor), e a tubulação de sucção tem o dobro do diâmetro, portanto área A_s=4A_2. Essa escolha é natural porque então as velocidades nas tubulações ficam consistentes com as velocidades meridionais do rotor (ou seja, v_{\text{desc}}=V_{m2}). Se preferir outra hipótese para diâmetros, o termo correto está indicado abaixo e pode ser recalculado.
Com a hipótese A_{\text{desc}}=A_2 e A_{\text{suc}}=4A_2:
v_{\text{desc}}=\frac{Q}{A_2}=V_{m2}=3,7879\\ \mathrm{m/s},
v_{\text{suc}}=\frac{Q}{A_s}=\frac{Q}{4A_2}=\frac{v_{\text{desc}}}{4}=0,94698\\ \mathrm{m/s}.
A correção por velocidades dá:
\Delta p=\rho g H + \tfrac{1}{2}\rho\left(v_{\text{suc}}^{2}-v_{\text{desc}}^{2}\right).
Calculando o termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho\left(v_{\text{suc}}^{2}-v_{\text{desc}}^{2}\right)=\tfrac{1}{2}(1000)\left(0,94698^{2}-3,7879^{2}\right)\approx -6728\\ \mathrm{Pa}.
Logo
\Delta p=880478-6728\approx873750\\ \mathrm{Pa}=873,75\\ \mathrm{kPa}.
Observação: a diferença é pequena porque o termo cinético é pequeno frente à grande carga fornecida pela bomba.

Passo 9

Resumo rápido dos valores finais calculados (valores arredondados adequadamente para projeto):
  • Rotação de projeto: N\approx1700\\ \mathrm{rpm}.
  • Ângulo absoluto de saída: \alpha_2\approx7,86^\circ.
  • Altura de carga teórica: H\approx89,8\\ \mathrm{mCA}.
  • Potência mecânica teórica: P\approx26,44\\ \mathrm{kW}.
  • Aumento de pressão (tubulações com mesmo diâmetro, alinhadas): \Delta p\approx880,48\\ \mathrm{kPa}.
  • Aumento de pressão (sucção com diâmetro duas vezes o da descarga; hipótese A_{\text{desc}}=A_2): \Delta p\approx873,75\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

a) N\approx1700\\ \mathrm{rpm}
b) \alpha_2\approx7,86^\circ
c) H\approx89,8\\ \mathrm{mCA}
d) P\approx26,44\\ \mathrm{kW}
e) \Delta p\approx880,48\\ \mathrm{kPa}
f) \Delta p\approx873,75\\ \mathrm{kPa}

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