[6,0 pontos] Uma bomba centrífuga, projetada para bombear água a
, tem as seguintes dimensões:
Parâmetro
Entrada
Saída
Raio
80
180
Largura da pá
9
7
Ângulo da pá
25
40
Considerando a modelagem teórica pela equação de Euler, determine:
a) A rotação de projeto deste motor para que a componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula.
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial).
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em mCA.
d) A potência mecânica teórica necessária à essa bomba, em kW .
e) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se as tubulações de sucção e descarga apresentarem o mesmo diâmetro e estiverem alinhadas.
f) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se o diâmetro da tubulação de sucção for o dobro do diâmetro da tubulação de descarga.
| Parâmetro | Entrada | Saída |
| Raio
|
80 | 180 |
| Largura da pá
|
9 | 7 |
| Ângulo da pá | 25 | 40 |
a) A rotação de projeto deste motor para que a componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula.
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial).
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em mCA.
d) A potência mecânica teórica necessária à essa bomba, em kW .
e) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se as tubulações de sucção e descarga apresentarem o mesmo diâmetro e estiverem alinhadas.
f) Determine o aumento de pressão teórico desenvolvido pela bomba, em kPa , se o diâmetro da tubulação de sucção for o dobro do diâmetro da tubulação de descarga.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Vazão:
. - Raio de entrada:
. - Raio de saída:
. - Largura da pá na entrada:
. - Largura da pá na saída:
. - Ângulo da pá na entrada:
. - Ângulo da pá na saída:
.
O enunciado pede:
a) A rotação de projeto (em ) para que a componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula (
).
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial), i.e. .
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em (metros de coluna de água).
d) A potência mecânica teórica necessária, em .
e) O aumento de pressão teórico (em ) se as tubulações de sucção e descarga tiverem o mesmo diâmetro e estiverem alinhadas.
f) O aumento de pressão teórico (em ) se o diâmetro da tubulação de sucção for o dobro do diâmetro da tubulação de descarga.
a) A rotação de projeto (em
b) O ângulo absoluto do escoamento de saída (medido em relação à direção tangencial), i.e.
c) A altura de carga teórica desenvolvida pela bomba, em
d) A potência mecânica teórica necessária, em
e) O aumento de pressão teórico (em
f) O aumento de pressão teórico (em
Constantes que usarei (valores usuais para água e gravidade):
- Densidade:
. - Gravidade:
.
Passo 2
Conceitos e relações que vou usar (explicando devagar, como numa aula rápida):
- Área de passagem (seção meridional) na borda do rotor: para um rotor com largura
na circunferência de raio a área útil de escoamento é
A velocidade meridional (radial/meridional) média nessa seção é
Isto é continuidade: vazão é área vezes velocidade média.
- Triângulo de velocidades na entrada (convencional em turbomáquinas):
-
é a velocidade tangencial da pá (velocidade periférica). - A componente tangencial da velocidade absoluta do fluido é
. - A componente meridional é
. - O ângulo da pá
(medido entre a pá e a tangente) relaciona-se com a velocidade relativa por
adotando a convenção usual (para bomba centrífuga). Esta fórmula vem do triângulo: componente tangencial relativa é
e componente meridional relativa é
.
- Condição pedida em (a): “componente tangencial da velocidade do fluido na entrada seja nula” significa
. Substituindo na equação acima:
Com
conhecido, a rotação é
e
em rotações por segundo; multiplicando por
obtemos
.
- Na saída, assumindo que o escoamento relativo segue a pá (isto é, não há grande incidência), vale
daí
O ângulo absoluto de saída
(medido a partir da direção tangencial) satisfaz
- Equação de Euler para bomba (carga ideal produzida):
Como pediram
, isso simplifica para
- Potência hidráulica (teórica) fornecida ao fluido:
Se pedirem potência mecânica necessária e negligenciando perdas, usa-se a mesma expressão.
- Aumento de pressão entre sucção e descarga (variação de pressão estática) relaciona-se com a altura de carga por
quando não há variação de velocidade ou diferença de cota entre sucção e descarga. Se houver diferença de velocidades médias entre sucção e descarga (mesmo plano), a correção é a diferença de energia cinética:
(Assumindo tubulações alinhadas na mesma cota e sem considerar perdas por atrito.)
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo com os dados.
Passo 3
Cálculo do fluxo meridional na entrada e determinação de
e da rotação (parte a).
Área de entrada:
Velocidade meridional na entrada:
Condição
implica
Calcule
. Então
Velocidade angular e rotação:
Arredondando de forma prática para projeto:
.
Passo 4
Cálculo do ângulo absoluto de saída
(parte b).
Área e velocidade meridional na saída:
Velocidade periférica na saída:
Usando a relação no passo 2 para a saída:
Com
,
O ângulo absoluto de saída
(medido a partir da tangente) é
logo
Passo 5
Cálculo da altura de carga teórica
(parte c) usando Euler.
Como
,
Portanto a carga teórica é
.
Passo 6
Cálculo da potência mecânica teórica (parte d).
Potência teórica:
Arredondando:
.
Passo 7
Aumento de pressão teórico quando sucção e descarga têm o mesmo diâmetro e estão alinhadas (parte e).
Se as tubulações têm o mesmo diâmetro e estão à mesma cota, as velocidades médias nas duas tubulações são iguais, então não há termo de diferença de energia cinética; assim
Calculando:
Passo 8
Aumento de pressão quando o diâmetro da tubulação de sucção é o dobro do diâmetro da tubulação de descarga (parte f).
Explicação e suposição necessária: o enunciado dá apenas a razão entre os diâmetros, não o diâmetro absoluto. Para obter um valor numérico, vou assumir que a tubulação de descarga tem área igual à área de passagem do rotor na saída
(isto é, a tubulação está dimensionada para receber o escoamento na saída do rotor), e a tubulação de sucção tem o dobro do diâmetro, portanto área
. Essa escolha é natural porque então as velocidades nas tubulações ficam consistentes com as velocidades meridionais do rotor (ou seja,
). Se preferir outra hipótese para diâmetros, o termo correto está indicado abaixo e pode ser recalculado.
Com a hipótese
e
:
A correção por velocidades dá:
Calculando o termo cinético:
Logo
Observação: a diferença é pequena porque o termo cinético é pequeno frente à grande carga fornecida pela bomba.
Passo 9
Resumo rápido dos valores finais calculados (valores arredondados adequadamente para projeto):
- Rotação de projeto:
. - Ângulo absoluto de saída:
. - Altura de carga teórica:
. - Potência mecânica teórica:
. - Aumento de pressão (tubulações com mesmo diâmetro, alinhadas):
. - Aumento de pressão (sucção com diâmetro duas vezes o da descarga; hipótese
): .
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)