Bônus: ( 10 pontos) Escolha um dos itens abaixo para resolver.
(c) Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=4 \\\\ 2 x+5 y-2 z=3\end{array}\right.
Há duas equações lineares envolvendo as incógnitas \,x,y,z\,.
O sistema tem 2 equações e 3 incógnitas, portanto esperamos, em geral, uma família infinita de soluções parametrizada por uma variável livre (ou seja, “graus de liberdade” = 3-2=1).
O objetivo é encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações simultaneamente.]
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): usar eliminação e parametrização. Vou isolar uma incógnita numa equação simples (por exemplo x a partir da primeira) e substituir na segunda para obter uma relação entre y e z. Como temos menos equações que incógnitas, vou escolher uma variável livre (por exemplo z) e expressar x e y em função dela. Isso é padrão em sistemas subdeterminado: fixar um parâmetro e escrever as demais variáveis em função desse parâmetro.
Passo 3
Isolar x a partir da primeira equação. Da equação
x+y+z=4
subtraindo y+z em ambos os lados obtemos
x=4-y-z.
Passo 4
Substituir x=4-y-z na segunda equação para eliminar x. A segunda equação é
2x+5y-2z=3.
Substituindo x:
2(4-y-z)+5y-2z=3.
Agora desenvolver os parênteses e simplificar passo a passo:
8-2y-2z+5y-2z=3.
Agrupando termos semelhantes (os termos com y, os com z e o termo constante):