Bônus: ( 10 pontos) Escolha um dos itens abaixo para resolver.
(c) Resolva o sistema \left\{\begin{array}{l}x+y+z=4 \\\\ 2 x+5 y-2 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y+z=4,\\[4pt] 2x+5y-2z=3. \end{cases}
Informações dadas:
  • Há duas equações lineares envolvendo as incógnitas \,x,y,z\,.
  • O sistema tem 2 equações e 3 incógnitas, portanto esperamos, em geral, uma família infinita de soluções parametrizada por uma variável livre (ou seja, “graus de liberdade” = 3-2=1).
    O objetivo é encontrar todas as tuplas (x,y,z) que satisfazem as duas equações simultaneamente.]

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): usar eliminação e parametrização. Vou isolar uma incógnita numa equação simples (por exemplo x a partir da primeira) e substituir na segunda para obter uma relação entre y e z. Como temos menos equações que incógnitas, vou escolher uma variável livre (por exemplo z) e expressar x e y em função dela. Isso é padrão em sistemas subdeterminado: fixar um parâmetro e escrever as demais variáveis em função desse parâmetro.

Passo 3

Isolar x a partir da primeira equação. Da equação
x+y+z=4
subtraindo y+z em ambos os lados obtemos
x=4-y-z.

Passo 4

Substituir x=4-y-z na segunda equação para eliminar x. A segunda equação é
2x+5y-2z=3.
Substituindo x:
2(4-y-z)+5y-2z=3.
Agora desenvolver os parênteses e simplificar passo a passo:
8-2y-2z+5y-2z=3.
Agrupando termos semelhantes (os termos com y, os com z e o termo constante):
8 + (-2y+5y) + (-2z-2z)=3,
ou seja
8 + 3y -4z = 3.

Passo 5

Isolar y em função de z. Da igualdade obtida:
8 + 3y -4z = 3
subtraindo 8 de ambos os lados:
3y -4z = 3-8 = -5.
Somando 4z a ambos os lados e dividindo por 3:
3y = 4z-5 \qquad\Rightarrow\qquad y=\dfrac{4z-5}{3}.
Aqui temos y expresso em termos de z.

Passo 6

Voltar e expressar x em função de z também, usando x=4-y-z. Substituindo y=\dfrac{4z-5}{3}:
x=4-\dfrac{4z-5}{3}-z.
Colocar tudo sobre o mesmo denominador 3 para simplificar:
x=\dfrac{12}{3}-\dfrac{4z-5}{3}-\dfrac{3z}{3} =\dfrac{12-(4z-5)-3z}{3}.
Desenvolvendo o numerador:
12-(4z-5)-3z = 12-4z+5-3z = 17-7z.
Logo
x=\dfrac{17-7z}{3}.

Passo 7

Apresentar a solução parametrizada por uma variável livre. Chamando z=t (parâmetro real), obtemos a descrição clássica da família de soluções:
x=\dfrac{17-7t}{3},\qquad y=\dfrac{4t-5}{3},\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isto é, todas as tuplas
\left(\dfrac{17-7t}{3},\,\dfrac{4t-5}{3},\,t\right)
com t real satisfazem o sistema. Essa é a solução geral.

Passo 8

Verificação rápida com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolher t=1. Então
x=\dfrac{17-7\cdot1}{3}=\dfrac{10}{3},\qquad y=\dfrac{4\cdot1-5}{3}=\dfrac{-1}{3},\qquad z=1.
Checar na primeira equação:
x+y+z=\dfrac{10}{3}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1=\dfrac{9}{3}+1=3+1=4,
checa. Checar na segunda:
2x+5y-2z=2\cdot\dfrac{10}{3}+5\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)-2\cdot1 =\dfrac{20}{3}-\dfrac{5}{3}-2=\dfrac{15}{3}-2=5-2=3,
checa também. Então a parametrização está correta.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\left(\dfrac{17-7t}{3},\,\dfrac{4t-5}{3},\,t\right),\\ t\in\mathbb{R}.

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