O que é e como funciona o método de Laplace (expansão por cofatores), explicado de forma simples:
Para uma matriz 3\times3 a ideia é escolher uma linha ou coluna (de preferência a que tem zeros ou números pequenos) e expandir o determinante somando os produtos de cada elemento dessa linha/coluna pelo seu cofator.
Para um elemento a_{ij} o menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j. O cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
A fórmula de expansão pela linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}C_{ij}.
Vou escolher a primeira linha (1,1,0) porque tem um zero (isso simplifica a conta).
Passo 3
Aplicando Laplace pela primeira linha: vamos calcular os menores e cofatores para os elementos da linha 1.
Elemento a_{11}=1:
Menor M_{11} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1:
Qualquer cofator multiplicado por a_{13}=0 contribui zero para o determinante, então não precisamos calcular M_{13} para a soma (mas eu posso depois para completar a tabela, se quiser).]
Passo 4
Somando os termos da expansão pela primeira linha:
A partir do determinante: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=3\neq0, concluímos que A possui inversa.
Agora vou calcular A^{-1} pelo método clássico usando a adjunta (adjugate):