Questão 3: ( 25 pontos) Calcule o determinante da matriz A abaixo usando o método de Laplace. A matriz possui inversa? Se sim, calcule a inversa de A.
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede calcular o determinante da matriz A usando o método de Laplace.
  • Pede verificar se A possui inversa; se sim, calcular A^{-1}.
  • A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 2

O que é e como funciona o método de Laplace (expansão por cofatores), explicado de forma simples:
  • Para uma matriz 3\times3 a ideia é escolher uma linha ou coluna (de preferência a que tem zeros ou números pequenos) e expandir o determinante somando os produtos de cada elemento dessa linha/coluna pelo seu cofator.
  • Para um elemento a_{ij} o menor M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j. O cofator é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • A fórmula de expansão pela linha i é
\det(A)=\sum_{j=1}^{3} a_{ij}C_{ij}.
  • Vou escolher a primeira linha (1,1,0) porque tem um zero (isso simplifica a conta).

Passo 3

Aplicando Laplace pela primeira linha: vamos calcular os menores e cofatores para os elementos da linha 1.
Elemento a_{11}=1:
  • Menor M_{11} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-1\cdot0=2.
  • Cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=+1\cdot2=2.
Elemento a_{12}=1:
  • Menor M_{12} é o determinante da submatriz obtida removendo linha 1 e coluna 2:
M_{12}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}=0\cdot2-1\cdot1=-1.
  • Cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-1)=+1.
Elemento a_{13}=0:
  • Qualquer cofator multiplicado por a_{13}=0 contribui zero para o determinante, então não precisamos calcular M_{13} para a soma (mas eu posso depois para completar a tabela, se quiser).]

Passo 4

Somando os termos da expansão pela primeira linha:
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}=1\cdot2+1\cdot1+0\cdot C_{13}=2+1+0=3.
Portanto o determinante é \det(A)=3.

Passo 5

A partir do determinante: uma matriz quadrada tem inversa se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Como \det(A)=3\neq0, concluímos que A possui inversa.
Agora vou calcular A^{-1} pelo método clássico usando a adjunta (adjugate):
  • Fórmula: A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz transposta da matriz de cofatores (C_{ij}).

Passo 6

Calcular todos os cofatores C_{ij} (já temos alguns) preenchendo a matriz de cofatores.
Relembrando a matriz A:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Já tínhamos:
C_{11}=2,\qquad C_{12}=1.
Agora os demais:
Para C_{13} (linha 1, coluna 3):
  • Menor M_{13}=\det\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1.
  • Sinal (-1)^{1+3}=+1, logo C_{13}=+1\cdot(-1)=-1.
Para C_{21} (linha 2, coluna 1):
  • Menor M_{21}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot0=2.
  • Sinal (-1)^{2+1}=-1, logo C_{21}=-2.
Para C_{22} (linha 2, coluna 2):
  • Menor M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}=1\cdot2-0\cdot1=2.
  • Sinal (+1), logo C_{22}=2.
Para C_{23} (linha 2, coluna 3):
  • Menor M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=1\cdot0-1\cdot1=-1.
  • Sinal (-1), logo C_{23}=-(-1)=+1.
Para C_{31} (linha 3, coluna 1):
  • Menor M_{31}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot1=1.
  • Sinal (+1), logo C_{31}=1.
Para C_{32} (linha 3, coluna 2):
  • Menor M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-0\cdot0=1.
  • Sinal (-1), logo C_{32}=-1.
Para C_{33} (linha 3, coluna 3):
  • Menor M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1-1\cdot0=1.
  • Sinal (+1), logo C_{33}=1.
Assim a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13}\\[4pt] C_{21} & C_{22} & C_{23}\\[4pt] C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1\\[4pt] -2 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Formar a adjunta (adjugate) \operatorname{adj}(A) como a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)= \begin{pmatrix} 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(O que fiz: transposei trocando linhas por colunas.)]

Passo 8

Dividir a adjunta pelo determinante para obter a inversa:
  • Como \det(A)=3,
A^{-1}=\frac{1}{3}\operatorname{adj}(A) =\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Se preferir escrever cada entrada:
A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3}\\[8pt] \dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3}\\[8pt] -\dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

\det(A)=3
A possui inversa: Sim.
A^{-1}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -2 & 1\\[4pt] 1 & 2 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}]

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