Uma borracha elástica a uma temperatura absoluta
está presa em uma extremidade a um pino e sustenta em sua outra extremidade um peso
. Assuma, como um modelo microscópico simples da borracha, que ela consiste em uma cadeia polimérica ligada de
segmentos unidos ponta a ponta; cada segmento tem comprimento
e pode estar orientado paralelamente ou antiparalelamente à direçāo vertical. Encontre uma expressāo para o comprimento médio resultante
da borracha como funçāo de
. (Desconsidere as energias cinéticas ou os pesos dos próprios segmentos, ou qualquer interaçāo entre os segmentos.)
Passo 1
O enunciado descreve uma borracha modelada por uma cadeia de
segmentos independentes, cada um de comprimento
, que pode apontar para baixo (no mesmo sentido do peso
) ou para cima (sentido contrário). A cada orientação há uma diferença de energia devido ao trabalho
ao deslocar o peso por
. Para achar o comprimento médio
usaremos estatística de Boltzmann: calculamos a função de partição de um segmento, obtemos a média de extensão dele e, por fim, somamos sobre os
segmentos.
Passo 2
Cada segmento tem dois estados:
— Estado “para baixo”: extensão com energia
.
— Estado “para cima”: extensão com energia
.
A constante de Boltzmann é e
. A função de partição de um segmento é
— Estado “para baixo”: extensão
— Estado “para cima”: extensão
A constante de Boltzmann é
Passo 3
A extensão média de um segmento é
Passo 4
Como os segmentos são independentes, o comprimento médio total é