Uma borracha elástica a uma temperatura absoluta T está presa em uma extremidade a um pino e sustenta em sua outra extremidade um peso W. Assuma, como um modelo microscópico simples da borracha, que ela consiste em uma cadeia polimérica ligada de N segmentos unidos ponta a ponta; cada segmento tem comprimento a e pode estar orientado paralelamente ou antiparalelamente à direçāo vertical. Encontre uma expressāo para o comprimento médio resultante \bar{l} da borracha como funçāo de W. (Desconsidere as energias cinéticas ou os pesos dos próprios segmentos, ou qualquer interaçāo entre os segmentos.)

Passo 1

O enunciado descreve uma borracha modelada por uma cadeia de N segmentos independentes, cada um de comprimento a, que pode apontar para baixo (no mesmo sentido do peso W) ou para cima (sentido contrário). A cada orientação há uma diferença de energia devido ao trabalho W ao deslocar o peso por a. Para achar o comprimento médio \bar{l} usaremos estatística de Boltzmann: calculamos a função de partição de um segmento, obtemos a média de extensão dele e, por fim, somamos sobre os N segmentos.

Passo 2

Cada segmento tem dois estados:
— Estado “para baixo”: extensão +a com energia -W\,a.
— Estado “para cima”: extensão -a com energia +W\,a.
A constante de Boltzmann é k_B e \beta = 1/(k_B T). A função de partição de um segmento é
Z_1 = e^{-\beta(-W a)} + e^{-\beta(+W a)} = e^{\beta W a} + e^{-\beta W a} = 2\operatorname{cosh}\bigl(\beta W a\bigr).

Passo 3

A extensão média de um segmento é
\langle \ell_1\rangle = \frac{1}{Z_1}\Bigl(a\,e^{\beta W a} + (-a)\,e^{-\beta W a}\Bigr) = a\,\frac{e^{\beta W a} - e^{-\beta W a}}{2\operatorname{cosh}(\beta W a)} = a\,\operatorname{tanh}\bigl(\beta W a\bigr).

Passo 4

Como os segmentos são independentes, o comprimento médio total é
\bar{l} = N\,\langle \ell_1 \rangle = N\,a\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\beta W a\Bigr) = N\,a\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{W a}{k_B T}\Bigr).

Resposta

\boxed{\bar{l} = N\,a\,\operatorname{tanh}\!\biggl(\frac{W\,a}{k_B\,T}\biggr)}.

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