Both a gage and a manometer are attached to a gas tank to measure its pressure. If the reading on the pressure gage is 80 kPa , determine the distance between the two fluid levels of the manometer if the fluid is
mercury (
)
mercury (
Passo 1
O enunciado pede: determinar a distância entre os dois níveis do mercúrio no manômetro, chamada de
, sabendo que o mostrador (gage) indica uma pressão de
. Dados fornecidos:
Observação importante do esquema (usada na resolução): o lado direito do manômetro está aberto à atmosfera, logo o nível direito está exposto à pressão atmosférica
. O gage informa a pressão do gás em relação à atmosfera (ou seja, pressão gauge).
Passo 2
Conceito físico que vamos usar: equilíbrio hidrostático. Em um fluido em repouso, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula
onde:
-
é a pressão no ponto final; -
é a pressão no ponto de referência (mais alto, se for positivo para baixo); -
é a densidade do fluido (aqui, mercúrio); -
é a aceleração da gravidade (usaremos ); -
é a diferença de altura vertical (positiva quando descemos).
Explicando em palavras: descendo uma coluna de fluido a pressão aumenta de
vezes a altura descida.
Passo 3
Escolhemos dois pontos para aplicar a fórmula: o ponto A na superfície do mercúrio do lado ligado ao gás (pressão
) e o ponto B na superfície livre do mercúrio do lado aberto (pressão
). Observando a figura, o ponto B está mais alto que A por uma distância
. Aplicando hidrostática do ponto B para o ponto A (descemos uma altura
):
Substituindo nomes:
Passo 4
Relacionando com o gage: a leitura do gage é a pressão acima da atmosfera, ou seja
Usando a equação do passo anterior,
Portanto a altura procurada é
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância entre os níveis (o que queremos); -
: pressão indicada pelo gage (em Pa); -
: densidade do mercúrio; -
: aceleração da gravidade.
Passo 5
Agora fazemos a conta substituindo os valores numéricos (lembrando de converter
para pascal:
):
Calculemos o denominador:
Agora a divisão:
(Arredondei para três casas decimais; a precisão é adequada para problemas de manômetro sem exigir mais casas.)
Passo 6
Interpretação final e motivação: o resultado significa que o mercúrio se desloca cerca de
entre os dois ramos do manômetro quando a pressão do gás é
acima da atmosfera. Dá para visualizar que mercúrio, sendo muito denso, requer uma altura relativamente pequena para equilibrar uma pressão grande — por isso manômetros de mercúrio são compactos.