Both a gage and a manometer are attached to a gas tank to measure its pressure. If the reading on the pressure gage is 80 kPa , determine the distance between the two fluid levels of the manometer if the fluid is
mercury ( \rho=13,600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} )

Passo 1

O enunciado pede: determinar a distância entre os dois níveis do mercúrio no manômetro, chamada de h, sabendo que o mostrador (gage) indica uma pressão de 80\\ \text{kPa}. Dados fornecidos:
P_{\text{gage}} = 80\\ \text{kPa},\qquad \rho_{\text{Hg}} = 13\,600\\ \text{kg/m}^3.
Observação importante do esquema (usada na resolução): o lado direito do manômetro está aberto à atmosfera, logo o nível direito está exposto à pressão atmosférica P_{\text{atm}}. O gage informa a pressão do gás em relação à atmosfera (ou seja, pressão gauge).

Passo 2

Conceito físico que vamos usar: equilíbrio hidrostático. Em um fluido em repouso, a pressão varia com a profundidade segundo a fórmula
P = P_0 + \rho g \Delta z,
onde:
  • P é a pressão no ponto final;
  • P_0 é a pressão no ponto de referência (mais alto, se \Delta z for positivo para baixo);
  • \rho é a densidade do fluido (aqui, mercúrio);
  • g é a aceleração da gravidade (usaremos g=9,81\\ \text{m/s}^2);
  • \Delta z é a diferença de altura vertical (positiva quando descemos).
Explicando em palavras: descendo uma coluna de fluido a pressão aumenta de \rho g vezes a altura descida.

Passo 3

Escolhemos dois pontos para aplicar a fórmula: o ponto A na superfície do mercúrio do lado ligado ao gás (pressão P_{\text{gas}}) e o ponto B na superfície livre do mercúrio do lado aberto (pressão P_{\text{atm}}). Observando a figura, o ponto B está mais alto que A por uma distância h. Aplicando hidrostática do ponto B para o ponto A (descemos uma altura h):
P_{\text{A}} = P_{\text{B}} + \rho_{\text{Hg}} g h.
Substituindo nomes:
P_{\text{gas}} = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{Hg}} g h.

Passo 4

Relacionando com o gage: a leitura do gage é a pressão acima da atmosfera, ou seja
P_{\text{gage}} = P_{\text{gas}} - P_{\text{atm}}.
Usando a equação do passo anterior,
P_{\text{gage}} = \rho_{\text{Hg}} g h.
Portanto a altura procurada é
h = \frac{P_{\text{gage}}}{\rho_{\text{Hg}} g}.
Aqui cada símbolo significa:
  • h: distância entre os níveis (o que queremos);
  • P_{\text{gage}}: pressão indicada pelo gage (em Pa);
  • \rho_{\text{Hg}}: densidade do mercúrio;
  • g: aceleração da gravidade.

Passo 5

Agora fazemos a conta substituindo os valores numéricos (lembrando de converter 80\\ \text{kPa} para pascal: 1\\ \text{kPa}=1000\\ \text{Pa}):
h = \frac{80\,000}{13\,600\cdot 9,81}.
Calculemos o denominador:
13\,600\cdot 9,81 = 133\,416\\ (\text{N/m}^3).
Agora a divisão:
h = \frac{80\,000}{133\,416}\approx 0,600\\ \text{m}.
(Arredondei para três casas decimais; a precisão é adequada para problemas de manômetro sem exigir mais casas.)

Passo 6

Interpretação final e motivação: o resultado significa que o mercúrio se desloca cerca de 0,600\\ \text{m} entre os dois ramos do manômetro quando a pressão do gás é 80\\ \text{kPa} acima da atmosfera. Dá para visualizar que mercúrio, sendo muito denso, requer uma altura relativamente pequena para equilibrar uma pressão grande — por isso manômetros de mercúrio são compactos.

Resposta

h=0,600\\ \text{m}

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