3-28 A manometer containing oil ( \rho=850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) is attached to a tank filled with air. If the oil-level difference between the two columns is 45 cm and the atmospheric pressure is 98 kPa , determine the absolute pressure of the air in the tank. Answer: 101.75 kPa

Passo 1

O enunciado pede a pressão absoluta do ar dentro do tanque. Dados fornecidos:
\rho = 850\\ \mathrm{kg/m^{3}} (densidade do óleo),
diferença de nível do óleo h = 0,45\\ \mathrm{m},
pressão atmosférica P_{atm} = 98\\ \mathrm{kPa}.
Queremos encontrar P_{tanque}, a pressão absoluta do ar no tanque.

Passo 2

Conceito físico que usamos (explicando passo a passo, como numa prova): num manômetro em U com um fluido de densidade \rho, a pressão exercida por um fluido em dois pontos ao mesmo nível horizontal é igual. Se um lado está conectado ao tanque e o outro está aberto à atmosfera, a diferença de pressão entre o tanque e a atmosfera é dada pela cabeça hidrostática do fluido:
\Delta P = P_{tanque} - P_{atm} = \rho g h.
Aqui:
  • \Delta P é a diferença de pressão entre o tanque e a atmosfera (em Pa),
  • \rho é a densidade do óleo ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • h é a diferença de nível do óleo ( \mathrm{m}).
    Como interpretar o sinal: se o lado ligado ao tanque está mais baixo (o óleo sobe no lado aberto), significa que P_{tanque} > P_{atm} e então somamos a cabeça \rho g h à pressão atmosférica. Esse é o caso aqui, pois o resultado esperado (101,75 kPa) é maior que 98 kPa.

Passo 3

Agora calculamos a cabeça hidrostática \rho g h. Usamos g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\rho g h = 850 \times 9,81 \times 0,45.
Calcule passo a passo:
9,81\times 0,45 = 4,4145,
850\times 4,4145 = 3752,325\\ \mathrm{Pa}.
Convertendo para kilopascal:
3752,325\\ \mathrm{Pa} = 3,752325\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Agora somamos essa diferença à pressão atmosférica para obter a pressão absoluta no tanque:
P_{tanque} = P_{atm} + \rho g h = 98\\ \mathrm{kPa} + 3,752325\\ \mathrm{kPa} = 101,752325\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando de forma razoável (duas casas decimais) obtemos 101,75\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

101,75\\ \mathrm{kPa}

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