O braço BCD gira em torno do eixo z com velocidade angular constante de 5rad/s, enquanto o disco gira em torno do eixo y com velocidade angular também constante de 4rad/s. Determinar a velocidade e a aceleração do ponto A (2,5pts).
Passo 1
O enunciado diz: o braço BCD gira em torno do eixo z com velocidade angular constante de 5\\ \mathrm{rad/s}, e o disco gira em torno do eixo y com velocidade angular constante de 4\\ \mathrm{rad/s}. Pede-se determinar a velocidade e a aceleração do ponto A. Informações explícitas fornecidas:
\omega_{BCD}=5\\ \mathrm{rad/s}\quad\text{(em torno de \(z\))},
\omega_{\text{disco}}=4\\ \mathrm{rad/s}\quad\text{(em torno de \(y\))},
e ambas são constantes (portanto as acelerações angulares são nulas: \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}, se essas rotações forem constantes e em eixo fixo).\n
Observação importante: o enunciado parece depender de uma figura (posição relativa do ponto A, ponto(s) de referência, comprimentos dos braços, se o ponto A está no disco, no braço, distância ao centro de rotação, etc.). Essa figura ou coordenadas de A não foram enviadas aqui.
Passo 2
Por causa da falta da figura/posições, não há como calcular numericamente a velocidade e a aceleração de A. Especificamente, faltam as seguintes informações essenciais:
a posição do ponto A em coordenadas no referencial inercial (por exemplo \mathbf{r}_A=(x_A,y_A,z_A));\n
o centro/origem das rotações (por exemplo, se ambas as rotações têm o mesmo ponto em comum ou eixos deslocados);\n
a ligação geométrica entre o braço BCD e o disco (ou seja, se as rotações são sobre o mesmo corpo rígido, se uma é relativa à outra, qual ponto é o centro do disco);\n
Sem esses dados não é possível dar os vetores \mathbf{v}_A e \mathbf{a}_A numéricos. Abaixo eu ensino passo a passo exatamente o que se faria assim que essas informações forem conhecidas — assim você já aprende o método e consegue aplicar na prova.
Passo 3
Regra básica (velocidade linear de um ponto em corpo em rotação): se um corpo rígido tem velocidade angular vetorial \boldsymbol{\omega} (em rad/s) em relação ao referencial inercial e um ponto do corpo tem vetor posição \mathbf{r} medido a partir do centro de rotação (ou de um ponto de referência fixo no corpo), então a velocidade linear é
\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}.
Explicando calmamente: \boldsymbol{\omega} é um vetor cuja direção é o eixo de rotação (use a regra da mão direita) e cujo módulo é a velocidade angular. \mathbf{r} é o vetor que vai do ponto de referência (centro de rotação) até o ponto cujo movimento queremos. O produto vetorial \times dá um vetor perpendicular tanto a \boldsymbol{\omega} quanto a \mathbf{r}, que é a velocidade linear do ponto.\n
Como calcular o produto vetorial em componentes: se \boldsymbol{\omega}=(\omega_x,\omega_y,\omega_z) e \mathbf{r}=(x,y,z), então
Exemplo curto (apenas para entender): se \boldsymbol{\omega}=(0,0,\omega) e \mathbf{r}=(x,y,0) (rotação em torno de z), então \mathbf{v}=(-\omega y,\\ \omega x,\\\ 0) — lembra da fórmula clássica para velocidade tangencial.]
Passo 4
Regra para aceleração de um ponto fixo num corpo em rotação: se o corpo tem velocidade angular \boldsymbol{\omega}(t) e aceleração angular \boldsymbol{\alpha}(t)=\dot{\boldsymbol{\omega}}, então a aceleração do ponto fixo é
\boldsymbol{\alpha}\times\mathbf{r} é a aceleração tangencial (aparece se \boldsymbol{\omega} muda com o tempo);\n
\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}) é a aceleração centrípeta (direcionada para o centro da rotação).\n
Se a velocidade angular é constante (como no enunciado), então \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0} e sobra só a parcela centrípeta:
Como proceder quando houver duas rotações (caso do enunciado):
Se o ponto A pertence a um corpo que tem uma velocidade angular resultante igual à soma vetorial das duas rotações (isto é, se ambos os eixos são fixos no referencial inercial ou o corpo é rígido e vê uma \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_1+\boldsymbol{\omega}_2), então basta formar o vetor total
(escrevendo \boldsymbol{\omega}_{BCD}=5\mathbf{k} se for em torno de z positivo e \boldsymbol{\omega}_{\text{disco}}=4\mathbf{j} se for em torno de y positivo) e usar as fórmulas dos passos 3 e 4 com \boldsymbol{\omega}=\boldsymbol{\omega}_{\text{tot}}.\n
Se a rotação do disco é relativa ao braço (isto é, o disco gira em torno de y mas esse eixo y está em movimento por conta da rotação do braço em torno de z), então deve-se aplicar a fórmula de velocidades relativas. Processo sistemático:
Escolher um ponto de referência (por exemplo a origem O do sistema inercial ou o centro do braço);\n
Escrever a posição de A em termos de vetores relativos (por exemplo \mathbf{r}_{A/O}=\mathbf{r}_{C/O}+\mathbf{r}_{A/C}, onde C é o centro do disco);\n
Calcular a velocidade do ponto C (causada pela rotação do braço) por \mathbf{v}_C=\boldsymbol{\omega}_{BCD}\times\mathbf{r}_{C/O};\n
Calcular a velocidade relativa de A em relação a C por \mathbf{v}_{A/C}=\boldsymbol{\omega}_{\text{disco}}\times\mathbf{r}_{A/C} (aqui \boldsymbol{\omega}_{\text{disco}} deve ser expresso no referencial inercial — se o eixo do disco está girando, isso exige transformar o vetor \boldsymbol{\omega}_{\text{disco}} para o referencial inercial);\n
Somar: \mathbf{v}_A=\mathbf{v}_C+\mathbf{v}_{A/C}.\n
Para a aceleração aparecem termos adicionais (além das parcelas centrípetas de cada rotação e das acelerações angulares, se houver): surge o termo de Coriolis 2\boldsymbol{\omega}_{\text{outer}}\times\mathbf{v}_{A/C} quando a rotação relativa acontece em um corpo que já gira. A expressão completa (para \boldsymbol{\alpha}=0 nos eixos simples) fica, em termos conceituais:
onde \mathbf{a}_C=\boldsymbol{\omega}_{BCD}\times(\boldsymbol{\omega}_{BCD}\times\mathbf{r}_{C/O}) é a aceleração do ponto C (se \boldsymbol{\alpha}_{BCD}=0). Eu sei, parece muita conta — por isso na prova você precisa organizar vetores e trabalhar com componentes com calma.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (NÃO é a resposta do teu exercício — é só para você ver passo a passo): suponha que o ponto A (medido a partir do mesmo centro de referência) tenha posição
e suponha que as rotações sejam ambas vistas como vetores no referencial inercial: \boldsymbol{\omega}_{BCD}=5\mathbf{k} e \boldsymbol{\omega}_{\text{disco}}=4\mathbf{j}. Se o corpo é tal que a velocidade angular total é a soma
obtida pelo cálculo componente a componente (mostrei o algoritmo no Passo 3). Como as \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}, a aceleração é só o termo centrípeto:
Reforço: esse exemplo serve para você ver o método e conferir contas. Não o aplique ao teu exercício real a menos que a posição de A e o relacionamento geométrico sejam exatamente esses.]
Passo 7
Resumo do que fazer assim que você tiver a figura/posições (passo-a-passo para a prova, sem perder tempo):
Identificar o(s) centro(s) de rotação e escrever \mathbf{r}_A em componentes no referencial inercial.\n
Escrever os vetores angulares em componentes: por exemplo \boldsymbol{\omega}_{BCD}=5\mathbf{k}, \boldsymbol{\omega}_{\text{disco}}=4\mathbf{j}, e decidir se somam ou se uma é relativa.\n
Se somam (mesmo corpo rígido): calcule \boldsymbol{\omega}_{\text{tot}}, então \mathbf{v}_A=\boldsymbol{\omega}_{\text{tot}}\times\mathbf{r}_A e \mathbf{a}_A=\boldsymbol{\omega}_{\text{tot}}\times(\boldsymbol{\omega}_{\text{tot}}\times\mathbf{r}_A) (já que \boldsymbol{\alpha}=0).\n
Se for rotação relativa (disco sobre braço): decomponha \mathbf{r}_A em parcelas relativas, calcule \mathbf{v}_C, \mathbf{v}_{A/C}, some e depois use fórmulas de aceleração com o termo de Coriolis quando necessário.\n
Faça as contas componente a componente; confira com a identidade vetorial se quiser reduzir erros.\n
Vai dar certo — respira, segue os passos e usa o esquema acima sem pânico. Se você me enviar a figura ou as coordenadas de A e a posição do centro do disco em relação ao braço, eu faço todas as contas numéricas detalhadas para você, com cada operação mostrada.
Resposta
Não é possível calcular numericamente \mathbf{v}_A e \mathbf{a}_A porque falta a posição/figura que define a localização do ponto A e a geometria das rotações (centros dos eixos e relação entre braço e disco). Para resolver é necessário, no mínimo, fornecer as coordenadas de A (ou a figura completa) e a posição do centro do disco em relação ao braço.