Questão 4. (
pontos) Considerando-se
e sendo a pré carga
e a carga externa
, determinar a tração resultante no parafuso e a compressão nas peças.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a tração resultante no parafuso e a compressão nas peças quando se aplica uma carga externa.
Dados fornecidos:
(isto é, a rigidez conjunta das peças vale nove vezes a rigidez do parafuso),
(pré-carga inicial no parafuso, que também é a compressão inicial nas peças),
(carga externa aplicada que tende a separar as peças).
Queremos encontrar:
- a tração resultante no parafuso após aplicação de
; - a compressão resultante nas peças após aplicação de
.
Passo 2
Modelo físico e conceitos usados (passo-a-passo didático):
- Modelamos o parafuso e as peças como duas molas lineares acopladas: uma mola representa o parafuso com rigidez
e outra representa as peças com rigidez . - Rigidez (constante da mola) significa que uma variação de força
causa uma variação de deslocamento dada por a Lei de Hooke: , onde é a rigidez. Aqui tem unidades de newtons e de metros. - Quando aplicamos a carga externa
que tende a separar as peças, ocorre um deslocamento relativo entre parafuso e peças. Esse deslocamento provoca: - um aumento da força no parafuso de magnitude
; - uma diminuição da força de aperto (compressão) nas peças de magnitude
.
- um aumento da força no parafuso de magnitude
- A força externa
é suportada pela soma dessas variações (porque a carga aplicada se distribui entre o aumento da tração do parafuso e a perda de compressão das peças):
- Dessa equação obtemos
e, em seguida, e . A tração final no parafuso é . A compressão final nas peças é (pois a compressão inicial é reduzida).
Passo 3
Escrever as fórmulas gerais e resolver simbolicamente:
Passo 4
Substituir
nas frações:
Passo 5
Calcular as variações de força numéricas:
Passo 6
Calcular as forças resultantes usando as fórmulas:
Passo 7
Interpretação física e correção se necessário:
- Obtivemos
. Uma compressão negativa não faz sentido físico: indica que as peças perderam o contato (a compressão foi completamente anulada e as peças tendem a ficar em tração/desapertadas). - O caso real é que a compressão nas peças não pode ficar negativa; ela fica então igual a zero a partir do instante em que a carga externa ultrapassa um valor crítico
que anula a compressão. Calculamos fazendo :
Com
:
- Como
, as peças já se soltaram; portanto a compressão final nas peças é realmente . - Quando as peças estão separadas, a carga externa é transmitida inteiramente pelo parafuso, ou seja, a tração no parafuso passa a ser igual à carga externa
. Logo a tração resultante correta no parafuso, no caso real com separação, é (não o valor linearizado de , que só valia enquanto o conjunto permanecesse fechado).