Questão 4. ( \mathbf{1 , 0} pontos) Considerando-se \mathrm{km}=9 \mathrm{kp} e sendo a pré carga \mathrm{Fi}=5500 \mathrm{~N} e a carga externa \mathrm{P}=7000 \mathrm{~N}, determinar a tração resultante no parafuso e a compressão nas peças.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a tração resultante no parafuso e a compressão nas peças quando se aplica uma carga externa.
Dados fornecidos:
\mathrm{km}=9\,\mathrm{kp} (isto é, a rigidez conjunta das peças vale nove vezes a rigidez do parafuso),
\mathrm{Fi}=5500\\ \mathrm{N} (pré-carga inicial no parafuso, que também é a compressão inicial nas peças),
\mathrm{P}=7000\\ \mathrm{N} (carga externa aplicada que tende a separar as peças).
Queremos encontrar:
  • a tração resultante no parafuso após aplicação de P;
  • a compressão resultante nas peças após aplicação de P.

Passo 2

Modelo físico e conceitos usados (passo-a-passo didático):
  • Modelamos o parafuso e as peças como duas molas lineares acopladas: uma mola representa o parafuso com rigidez \mathrm{kp} e outra representa as peças com rigidez \mathrm{km}.
  • Rigidez (constante da mola) significa que uma variação de força \Delta F causa uma variação de deslocamento \Delta x dada por a Lei de Hooke: \Delta F = k\,\Delta x, onde k é a rigidez. Aqui \Delta F tem unidades de newtons e \Delta x de metros.
  • Quando aplicamos a carga externa \mathrm{P} que tende a separar as peças, ocorre um deslocamento relativo x entre parafuso e peças. Esse deslocamento provoca:
    • um aumento da força no parafuso de magnitude \Delta F_{p}=\mathrm{kp}\,x;
    • uma diminuição da força de aperto (compressão) nas peças de magnitude \Delta F_{m}=\mathrm{km}\,x.
  • A força externa \mathrm{P} é suportada pela soma dessas variações (porque a carga aplicada se distribui entre o aumento da tração do parafuso e a perda de compressão das peças):
\mathrm{P}=\Delta F_{p}+\Delta F_{m} = (\mathrm{kp}+\mathrm{km})\,x.
  • Dessa equação obtemos x e, em seguida, \Delta F_{p} e \Delta F_{m}. A tração final no parafuso é \mathrm{F}_\text{parafuso}=\mathrm{Fi}+\Delta F_{p}. A compressão final nas peças é \mathrm{F}_\text{peças}=\mathrm{Fi}-\Delta F_{m}ç (pois a compressão inicial \mathrm{Fi} é reduzida).

Passo 3

Escrever as fórmulas gerais e resolver simbolicamente:
x=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}
\Delta F_{p}=\mathrm{kp}\,x=\frac{\mathrm{kp}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}\;\mathrm{P}
\Delta F_{m}=\mathrm{km}\,x=\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}\;\mathrm{P}
\mathrm{F}_\text{parafuso}=\mathrm{Fi}+\Delta F_{p}
\mathrm{F}_\text{peças}=\mathrm{Fi}-\Delta F_{m}ç

Passo 4

Substituir \mathrm{km}=9\,\mathrm{kp} nas frações:
\frac{\mathrm{kp}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}=\frac{\mathrm{kp}}{\mathrm{kp}+9\mathrm{kp}}=\frac{1}{10}
\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}=\frac{9\mathrm{kp}}{\mathrm{kp}+9\mathrm{kp}}=\frac{9}{10}

Passo 5

Calcular as variações de força numéricas:
\Delta F_{p}=\frac{1}{10}\,\mathrm{P}=\frac{1}{10}\cdot 7000\\ \mathrm{N}=700\\ \mathrm{N}
\Delta F_{m}=\frac{9}{10}\,\mathrm{P}=\frac{9}{10}\cdot 7000\\ \mathrm{N}=6300\\ \mathrm{N}

Passo 6

Calcular as forças resultantes usando as fórmulas:
\mathrm{F}_\text{parafuso}=\mathrm{Fi}+\Delta F_{p}=5500\\ \mathrm{N}+700\\ \mathrm{N}=6200\\ \mathrm{N}
\mathrm{F}_\text{peças}=\mathrm{Fi}-\Delta F_{m}=5500\\ \mathrm{N}-6300\\ \mathrm{N}=-800\\ \mathrm{N}ç

Passo 7

Interpretação física e correção se necessário:
  • Obtivemos \mathrm{F}_\text{peças}=-800\\ \mathrm{N}ç. Uma compressão negativa não faz sentido físico: indica que as peças perderam o contato (a compressão foi completamente anulada e as peças tendem a ficar em tração/desapertadas).
  • O caso real é que a compressão nas peças não pode ficar negativa; ela fica então igual a zero a partir do instante em que a carga externa ultrapassa um valor crítico \mathrm{P}_\text{crit} que anula a compressão. Calculamos \mathrm{P}_\text{crit} fazendo \mathrm{F}_\text{peças}=0ç:
0=\mathrm{Fi}-\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}\mathrm{P}_\text{crit} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{P}_\text{crit}=\mathrm{Fi}\,\frac{\mathrm{kp}+\mathrm{km}}{\mathrm{km}}.
Com \mathrm{km}=9\mathrm{kp}:
\mathrm{P}_\text{crit}=5500\cdot\frac{1+9}{9}=5500\cdot\frac{10}{9}=6111{,}11\\ \mathrm{N}.
  • Como \mathrm{P}=7000\\ \mathrm{N}>\mathrm{P}_\text{crit}, as peças já se soltaram; portanto a compressão final nas peças é realmente \;0\\ \mathrm{N}.
  • Quando as peças estão separadas, a carga externa é transmitida inteiramente pelo parafuso, ou seja, a tração no parafuso passa a ser igual à carga externa \mathrm{P}. Logo a tração resultante correta no parafuso, no caso real com separação, é \mathrm{F}_\text{parafuso}=\mathrm{P}=7000\\ \mathrm{N} (não o valor linearizado de 6200\\ \mathrm{N}, que só valia enquanto o conjunto permanecesse fechado).

Resposta

\mathrm{F}_\text{parafuso}=7000\\ \mathrm{N}
\mathrm{F}_\text{peças}=0\\ \mathrm{N}ç

Exercícios relacionados