1. Uma barragem esférica tem 3.0 m de diâmetro. Determine o peso especifico do fluido 2 à direita, onde a altura da lámina é de 1,75 \mathrm{~m}. Para que o sistema fique em equilibrio, O fluido à esquerda é a água.

Passo 1

O enunciado (do jeito que veio) dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro da barragem/esfera: 3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Altura da lâmina do fluido 2 (lado direito): 1{,}75\\ \mathrm{m}.
    • O fluido à esquerda é água (logo o peso específico da água é conhecido).
  • Pergunta:
    • Determinar o peso específico do fluido 2 (lado direito) para que o sistema fique em equilíbrio.
Observação importante: não há figura nem indicação de níveis relativos (por exemplo: qual é a altura da água no lado esquerdo, onde as alturas são medidas, se a superfície livre dos dois fluidos estão na mesma cota, se a barragem é apenas uma separação vertical, se o equilíbrio exigido é “igualdade de pressões numa cota” ou “resultante hidrostática nula sobre a superfície esférica”, etc.). Essas informações são necessárias para um cálculo numérico único. Sem elas o enunciado está incompleto.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Pressão hidrostática: a pressão em um ponto dentro de um fluido em repouso aumenta linearmente com a profundidade. A fórmula básica é
p = p_0 + \gamma\,h,
onde:
  • p é a pressão no ponto,
  • p_0 é a pressão na superfície livre (normalmente pressão atmosférica; se houver duas superfícies livres ambos têm a mesma pressão atmosférica e ela se cancela em diferenças),
  • \gamma é o peso específico do fluido (unidade: \mathrm{N/m^3}),
  • h é a profundidade vertical medida a partir da superfície livre até o ponto considerado (unidade: \mathrm{m}).
  • Peso específico da água (valor padrão que usaremos se necessário):
\gamma_{\text{água}} \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}=9810\\ \mathrm{N/m^3}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3}.á
Explicando em palavras: se você quiser que em uma mesma cota (mesma profundidade) a pressão exercida pelo fluido da esquerda seja igual à do fluido da direita, basta igualar \gamma_{\text{esquerda}} h_{\text{esquerda}} = \gamma_{\text{direita}} h_{\text{direita}} (pressões adicionais iguais se as superfícies estiverem à mesma pressão atmosférica).

Passo 3

Interpretação mais simples e método básico (este é o método “mais básico” que eu aplicaria primeiro numa prova):
  • Se a condição de equilíbrio que o enunciado quer é que as pressões nas mesmas cotas (mesmas profundidades) se igualem através da barragem (por exemplo, para não haver tendência de deslocamento por diferença de pressão numa determinada linha de fuga), então podemos usar a igualdade de pressões numa cota de referência comum.
  • Tomando como referência qualquer cota comum abaixo das superfícies livres, a igualdade de pressões dá:
\gamma_{\text{água}}\,h_{\text{água}}=\gamma_{2}\,h_{2},áá
onde:
  • h_{\text{água}}á é a altura da coluna de água (lado esquerdo) até a cota de referência,
  • h_{2} é a altura da coluna do fluido 2 (lado direito) até a mesma cota; aqui foi dado h_{2}=1{,}75\\ \mathrm{m},
  • \gamma_{2} é o peso específico do fluido 2 que queremos achar.
  • Isolando \gamma_{2} obtemos a expressão simbólica útil:
\gamma_{2}=\gamma_{\text{água}}\;\frac{h_{\text{água}}}{1{,}75}.áá
Isto é uma fórmula direta e muito usada em problemas de equilíbrio hidrostático entre dois fluidos: o peso específico do fluido desconhecido é proporcional ao peso específico conhecido multiplicado pela razão das alturas das colunas.

Passo 4

Aplicação prática: por que eu não posso dar um valor numérico final agora
  • Na expressão do passo anterior aparece h_{\text{água}}á (a altura da lâmina do lado esquerdo). O enunciado não fornece esse valor. Sem saber h_{\text{água}}á não há como calcular numericamente \gamma_{2}.
  • Se o objetivo real do enunciado fosse outro (por exemplo, equilibrar momentos ou anular a resultante hidrostática sobre a superfície esférica inteira), o procedimento seria bem mais complexo: seria necessário conhecer a geometria completa (posição da superfície esférica, cotas das superfícies livres, ponto de aplicação das forças, etc.) e integrar a pressão sobre a superfície curva para obter as componentes horizontal e vertical da resultante. Portanto também faltarão dados nesse caso.

Passo 5

O que eu faria na prova se tivesse a figura ou o valor que falta (passo a passo prático)
  • Se receber h_{\text{água}}á: plugaria esse valor na fórmula do Passo 3 e multiplicaria por \gamma_{\text{água}}á. Exemplo ilustrativo (apenas EXEMPLO, não dado pelo enunciado):
    • Se h_{\text{água}}=2{,}50\\ \mathrm{m}á (exemplo), então
    \gamma_{2}=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3}\times\frac{2{,}50}{1{,}75}=9{,}81\times\frac{2{,}50}{1{,}75}\\ \mathrm{kN/m^3}.
    • Calcule a razão \dfrac{2{,}50}{1{,}75}=1{,}42857\ldots e multiplique por 9{,}81 para obter \gamma_{2} em \mathrm{kN/m^3}. (Isto mostra como proceder na prova sem a necessidade de ferramentas além de uma conta de razão.)
  • Se o problema realmente exigir equilíbrio de forças sobre a superfície esférica: pediria a figura e, com ela, aplicaria os princípios de hidrostática para superfícies curvas (componente horizontal igual à força sobre a projeção vertical, componente vertical igual ao peso do fluido sobre a superfície projetada etc.), e igualaria as resultantes dos dois lados para resolver \gamma_2.

Passo 6

Resumo do que falta e próxima ação (e incentivo)
  • Faltam dados essenciais: pelo menos a altura da lâmina de água do lado esquerdo ( h_{\text{água}}á) ou uma figura que explique a posição relativa das superfícies livres e o que exatamente se entende por “equilíbrio”.
  • Assim que você me passar h_{\text{água}}á ou a figura, eu faço o cálculo numérico passo a passo, mostrando cada conta e arredondamento (e prometo deixar tudo bem mastigado e sem pulo de etapas — você consegue!).

Resposta

Não é possível determinar numericamente o peso específico do fluido 2 com os dados fornecidos. Se a condição de equilíbrio for a igualdade de pressões numa mesma cota, então
\gamma_{2}=\gamma_{\text{água}}\;\frac{h_{\text{água}}}{1{,}75},áá
onde h_{\text{água}}á é a altura da lâmina do lado esquerdo (valor não fornecido).

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