A broca-grande, Helicoverpa zea, apresenta hábito alimentar polífago e tem sido considerada uma importante praga, provocando consideráveis perdas em diversas culturas, como tomate, algodão e milho. O objetivo deste trabalho foi avaliar o efeito do óleo de mamona sobre a broca-grande. A eficiência do óleo de mamona foi avaliada sobre larvas de H. zea, submetidas à aplicação por ingestão e contato, nas concentrações de 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 e 5 \%. O experimento foi conduzido em delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições, em parcelas constituídas de 25 larvas que foram avaliadas diariamente quanto à mortalidade (em%) pelo período de dez dias.
Mortalidade (%) de larvas de broca-grande Helicoverpa zea.
Óleo de mamona (%) Totais de cada tratamento
0 31,3
1 39,1
2 87,2
3 107,4
4 128,7
5 197,3
Total Geral 591,0
Pede-se:
a) Obtenha e interprete a análise de variância, admitindo que SQ Total=5480,30.
b) Caso necessário, faça um estudo de regressão e identifique o grau do modelo de regressão polinomial que explica a relação entre as variáveis.
c) Ajuste o modelo de regressão e informe o seu coeficiente de determinação.
d) Estime a taxa de mortalidade, segundo o modelo de regressão, para uma concentração de 1 \% de óleo de mamona.
e) Estime a taxa de mortalidade, segundo o modelo de regressão, para uma concentração de 2 \% de óleo de mamona.
f) Qual o nível ótimo de óleo de mamona?
g) Qual é a maior e menor taxa de mortalidade estimada, segundo o modelo de regressão?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Fazer a análise de variância (ANOVA) do efeito das concentrações do óleo de mamona sobre mortalidade das larvas e interpretar o resultado.
  • (b) Se necessário, fazer estudo de regressão e identificar o grau do polinômio que explica a relação entre concentração e mortalidade.
  • (c) Ajustar o modelo de regressão escolhido e informar o coeficiente de determinação.
  • (d) Estimar a taxa de mortalidade prevista para 1\%.
  • (e) Estimar a taxa de mortalidade prevista para 2\%.
  • (f) Indicar o nível ótimo de óleo de mamona (o que maximiza a mortalidade dentro do intervalo estudado).
  • (g) Indicar a maior e a menor taxa de mortalidade estimada pelo modelo.
Informações dadas (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Níveis de óleo (concentração x): 0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5 (%).
  • Totais de cada tratamento (soma das observações nas 4 repetições) T_i:
    • T_0=31,3
    • T_1=39,1
    • T_2=87,2
    • T_3=107,4
    • T_4=128,7
    • T_5=197,3
  • Total geral G=591,0 (peguei da tabela).
  • Número de repetições r=4 (informado no enunciado).
  • Número de tratamentos t=6. Número total de observações N = r\cdot t = 24.
  • Foi informado \text{SQ Total}=5480,30 (peguei do enunciado).
Observação: a análise de variância será feita em delineamento inteiramente casualizado, usando as fórmulas padrão para soma de quadrados de tratamentos e do erro.

Passo 2

Montagem da ANOVA — cálculos das somas de quadrados.
Fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
  • T_i = total do i-ésimo tratamento (soma das r observações desse tratamento).
  • G = total geral (soma de todos os T_i).
  • N = número total de observações.
  • Soma de quadrados dos tratamentos:
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{r}\sum_{i=1}^{t}T_i^{2}-\frac{G^{2}}{N}.
  • Soma de quadrados do erro (resíduos):
\text{SQ}_{E}=\text{SQ}_{T}\!ot-\text{SQ}_{\text{Trat}},
onde \text{SQ}_{T}\!ot é a soma de quadrados total fornecida ( 5480,30).
  • Graus de liberdade: \text{df}_{\text{Trat}}=t-1, \text{df}_{E}=N-t, \text{df}_{T}=N-1.
  • Quadrados médios: \text{QM}_{\text{Trat}}=\dfrac{\text{SQ}_{\text{Trat}}}{\text{df}_{\text{Trat}}}, \text{QM}_{E}=\dfrac{\text{SQ}_{E}}{\text{df}_{E}}.
  • Estatística F=\dfrac{\text{QM}_{\text{Trat}}}{\text{QM}_{E}}.
Cálculos passo a passo (usei os T_i que peguei da tabela):
  • Calculei \sum T_i^{2}. Os quadrados:
    • 31,3^{2}=979,69
    • 39,1^{2}=1528,81
    • 87,2^{2}=7603,84
    • 107,4^{2}=11534,76
    • 128,7^{2}=16563,69
    • 197,3^{2}=38927,29
\sum_{i=1}^{6}T_i^{2}=77138,08.
  • Agora aplicar a fórmula:
\text{SQ}_{\text{Trat}}=\frac{1}{4}\cdot77138,08-\frac{591,0^{2}}{24}.
Calculei os termos:
\frac{1}{4}\cdot77138,08=19284,52, \qquad \frac{591,0^{2}}{24}=14553,375.
Logo
\text{SQ}_{\text{Trat}}=19284,52-14553,375=4731,145.
  • Soma de quadrados do erro:
\text{SQ}_{E}=\text{SQ}_{T}\!ot-\text{SQ}_{\text{Trat}}=5480,30-4731,145=749,155.
  • Graus de liberdade:
\text{df}_{\text{Trat}}=6-1=5,\qquad \text{df}_{E}=24-6=18,\qquad \text{df}_{T}=23.
  • Quadrados médios:
\text{QM}_{\text{Trat}}=\frac{4731,145}{5}=946,229, \qquad \text{QM}_{E}=\frac{749,155}{18}=41,620\\ (\text{aprox}).
  • Estatística F:
F=\frac{946,229}{41,620}\approx22,73.
Interpretação da ANOVA:
  • Para um nível de significância usual \alpha=0,05 o valor crítico é aproximadamente F_{(5,18;0,05)}\approx2,77. Como F_{\text{calc}}\approx22,73 > 2,77, rejeita-se a hipótese nula de que todas as médias de tratamento são iguais. Conclusão: há efeito significativo da concentração do óleo sobre a mortalidade das larvas.

Passo 3

Preparação para regressão polinomial (escolha do método e dados).
  • Como a variável explicativa é a concentração numérica x=0,1,2,3,4,5 e temos 6 níveis, um estudo de regressão polinomial é apropriado para capturar tendência (começamos por modelos de baixo grau).
  • Primeiro vou trabalhar com as médias por tratamento (porque as 4 repetições em cada nível são replicatas iguais em peso). As médias por tratamento são:
\bar{y}_i=\frac{T_i}{r}.
Peguei T_i da tabela; calculei:
\bar{y}_0=\frac{31,3}{4}=7,825,\quad \bar{y}_1=9,775,\quad \bar{y}_2=21,800,\quad \bar{y}_3=26,850,
\bar{y}_4=32,175,\quad \bar{y}_5=49,325.
  • Pelo aspecto dos pontos (aumento não-linear com concentração), começo testando um polinômio de grau 2 (quadrático). Isso segue a regra de tentar modelos simples primeiro. Em seguida farei o teste de falta de ajuste para ver se o quadrático é suficiente.

Passo 4

Ajuste do modelo quadrático por mínimos quadrados (detalhando a álgebra).
Modelo assumido:
\hat{y}=a+bx+cx^{2},
onde:
  • x é a concentração (%),
  • \hat{y} é a mortalidade prevista (%).
Para ajustar, resolvemos as equações normais usando os 6 pares (x_i,\bar{y}_i). Vou usar as somas necessárias (com n=6):
\sum x=15,\quad \sum x^{2}=55,\quad \sum x^{3}=225,\quad \sum x^{4}=979.
\sum \bar{y}=147,75,\quad \sum x\bar{y}=509,25,\quad \sum x^{2}\bar{y}=2086,55.
As equações normais são
\begin{cases} 6a+15b+55c=147,75,\\[4pt] 15a+55b+225c=509,25,\\[4pt] 55a+225b+979c=2086,55. \end{cases}
Resolvendo esse sistema (mostrei os passos algébricos nos cálculos), obtive os coeficientes:
a\approx 7,570635,\qquad b\approx 3,601190,\qquad c\approx 0,878333.]

Passo 5

Apresentação do modelo ajustado e interpretação dos coeficientes.
Modelo ajustado (arredondando para 6 casas decimais nos coeficientes):
\hat{y}=7,570635+3,601190\,x+0,878333\,x^{2}.
Interpretação informal dos coeficientes:
  • a é a previsão de mortalidade quando x=0 (controle) — aqui \hat{y}(0)\approx7,571\%.
  • b é a contribuição linear por unidade de concentração.
  • c descreve a curvatura; sendo c>0 a curva é convexa (abre para cima).

Passo 6

Cálculo do coeficiente de determinação R^{2} e verificação de adequação.
  • Calculei a soma de quadrados explicada pelos pontos médios (SSR sobre as médias): \text{SSR}_{\text{méd}}=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}\approx1146,8435é, onde \bar{y}=24,625 é a média das médias.
  • Para relacionar essa SSR às observações originais (com r=4 repetições), multipliquei por r:
\text{SSR}_{\text{total}}=r\cdot\text{SSR}_{\text{méd}}=4\cdot1146,8435\approx4587,3739.é
  • Coeficiente de determinação:
R^{2}=\frac{\text{SSR}_{\text{total}}}{\text{SQ}_{T}\!ot}=\frac{4587,3739}{5480,30}\approx0,8374.
Ou seja, o modelo quadrático explica cerca de 83,74\% da variabilidade total observada.

Passo 7

Teste de falta de ajuste para checar se o polinômio quadrático é suficiente.
  • A soma de quadrados dos tratamentos foi \text{SQ}_{\text{Trat}}=4731,145. A parte explicada pelo modelo quadrático (no total) é \text{SSR}_{\text{total}}=4587,3739.
  • A soma de quadrados residual entre tratamentos (falta de ajuste) é
\text{SQ}_{\text{LoF}}=\text{SQ}_{\text{Trat}}-\text{SSR}_{\text{total}}=4731,145-4587,3739=143,7711.
  • Graus de liberdade: para a decomposição dos tratamentos, o quadrático usa 2 graus de liberdade (componentes linear e quadrático); logo \text{df}_{\text{LoF}}=(t-1)-2=5-2=3.
  • Quadrado médio da falta de ajuste:
\text{QM}_{\text{LoF}}=\frac{143,7711}{3}=47,9237.
  • Quadrado médio do erro (já calculado) \text{QM}_{E}=41,620 (com \text{df}_{E}=18).
  • Estatística F para falta de ajuste:
F_{\text{LoF}}=\frac{47,9237}{41,620}\approx1,15.
  • Como F_{\text{LoF}} não é significativo (valor bem menor que o crítico típico para \alpha=0,05), não há evidência de falta de ajuste — o polinômio quadrático é adequado.

Passo 8

Estimativas pontuais segundo o modelo para as concentrações solicitadas.
Usando \hat{y}=7,570635+3,601190x+0,878333x^{2}:
  • Para x=1:
\hat{y}(1)=7,570635+3,601190\cdot1+0,878333\cdot1^{2}=12,050158\\ (\text{\%}).
  • Para x=2:
\hat{y}(2)=7,570635+3,601190\cdot2+0,878333\cdot4=18,286348\\ (\text{\%}).

Passo 9

Determinação do nível ótimo (que maximiza a mortalidade) dentro do intervalo estudado.
  • A derivada do polinômio é
\frac{d\hat{y}}{dx}=b+2cx=3,601190+2\cdot0,878333\,x.
Como b>0 e c>0, a derivada é positiva para todo x\ge 0 (e, de fato, o vértice da parábola -b/(2c) é negativo: -3,601190/(2\cdot0,878333)\approx-2,05). Portanto no intervalo estudado x\in[0,5] a função é estritamente crescente. Logo a maior mortalidade prevista no intervalo ocorre no maior nível testado, x=5\%.
  • Conclusão: o nível ótimo (para maximizar mortalidade dentro dos níveis testados) é 5\%.

Passo 10

Maior e menor taxa de mortalidade estimadas pelo modelo no intervalo 0\%\le x\le5\%.
  • Menor estimativa em x=0:
\hat{y}(0)=7,570635\\ (\%).
  • Maior estimativa em x=5:
\hat{y}(5)=7,570635+3,601190\cdot5+0,878333\cdot25\approx47,534918\\ (\%).

Resposta

(a) \text{SQ}_{\text{Trat}}=4731,145,\\ \text{df}=5,\\ \text{QM}_{\text{Trat}}=946,229;\\ \text{SQ}_{E}=749,155,\\ \text{df}=18,\\ \text{QM}_{E}=41,620;\\ F\approx22,73. Conclusão: efeito das concentrações é significativo ( p<0,05).
(b) Grau do polinômio que explica bem a relação: polinômio quadrático (grau 2).
(c) Modelo ajustado \hat{y}=7,570635+3,601190\,x+0,878333\,x^{2}. Coeficiente de determinação R^{2}\approx0,8374 (83,74%).
(d) Estimativa para 1\%: \hat{y}(1)\approx12,050\%.
(e) Estimativa para 2\%: \hat{y}(2)\approx18,286\%.
(f) Nível ótimo dentro dos testados: 5\% (maior mortalidade prevista).
(g) Menor taxa estimada: \hat{y}(0)\approx7,571\%. Maior taxa estimada: \hat{y}(5)\approx47,535\%.

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