A broca-grande, Helicoverpa zea, apresenta hábito alimentar polífago e tem sido considerada uma importante praga, provocando consideráveis perdas em diversas culturas, como tomate, algodão e milho. O objetivo deste trabalho foi avaliar o efeito do óleo de mamona sobre a broca-grande. A eficiência do óleo de mamona foi avaliada sobre larvas de H. zea, submetidas à aplicação por ingestão e contato, nas concentrações de 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 e 5 \%. O experimento foi conduzido em delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições, em parcelas constituídas de 25 larvas que foram avaliadas diariamente quanto à mortalidade (em%) pelo período de dez dias.
Mortalidade (%) de larvas de broca-grande Helicoverpa zea.
Óleo de mamona (%)
Totais de cada tratamento
0
31,3
1
39,1
2
87,2
3
107,4
4
128,7
5
197,3
Total Geral
591,0
Pede-se:
a) Obtenha e interprete a análise de variância, admitindo que SQ Total=5480,30.
b) Caso necessário, faça um estudo de regressão e identifique o grau do modelo de regressão polinomial que explica a relação entre as variáveis.
c) Ajuste o modelo de regressão e informe o seu coeficiente de determinação.
d) Estime a taxa de mortalidade, segundo o modelo de regressão, para uma concentração de 1 \% de óleo de mamona.
e) Estime a taxa de mortalidade, segundo o modelo de regressão, para uma concentração de 2 \% de óleo de mamona.
f) Qual o nível ótimo de óleo de mamona?
g) Qual é a maior e menor taxa de mortalidade estimada, segundo o modelo de regressão?
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) Fazer a análise de variância (ANOVA) do efeito das concentrações do óleo de mamona sobre mortalidade das larvas e interpretar o resultado.
(b) Se necessário, fazer estudo de regressão e identificar o grau do polinômio que explica a relação entre concentração e mortalidade.
(c) Ajustar o modelo de regressão escolhido e informar o coeficiente de determinação.
(d) Estimar a taxa de mortalidade prevista para 1\%.
(e) Estimar a taxa de mortalidade prevista para 2\%.
(f) Indicar o nível ótimo de óleo de mamona (o que maximiza a mortalidade dentro do intervalo estudado).
(g) Indicar a maior e a menor taxa de mortalidade estimada pelo modelo.
Informações dadas (peguei estes números da tabela do enunciado):
Níveis de óleo (concentração x): 0,\;1,\;2,\;3,\;4,\;5 (%).
Totais de cada tratamento (soma das observações nas 4 repetições) T_i:
T_0=31,3
T_1=39,1
T_2=87,2
T_3=107,4
T_4=128,7
T_5=197,3
Total geral G=591,0 (peguei da tabela).
Número de repetições r=4 (informado no enunciado).
Número de tratamentos t=6. Número total de observações N = r\cdot t = 24.
Foi informado \text{SQ Total}=5480,30 (peguei do enunciado).
Observação: a análise de variância será feita em delineamento inteiramente casualizado, usando as fórmulas padrão para soma de quadrados de tratamentos e do erro.
Passo 2
Montagem da ANOVA — cálculos das somas de quadrados.
Fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
T_i = total do i-ésimo tratamento (soma das r observações desse tratamento).
Para um nível de significância usual \alpha=0,05 o valor crítico é aproximadamente F_{(5,18;0,05)}\approx2,77. Como F_{\text{calc}}\approx22,73 > 2,77, rejeita-se a hipótese nula de que todas as médias de tratamento são iguais. Conclusão: há efeito significativo da concentração do óleo sobre a mortalidade das larvas.
Passo 3
Preparação para regressão polinomial (escolha do método e dados).
Como a variável explicativa é a concentração numérica x=0,1,2,3,4,5 e temos 6 níveis, um estudo de regressão polinomial é apropriado para capturar tendência (começamos por modelos de baixo grau).
Primeiro vou trabalhar com as médias por tratamento (porque as 4 repetições em cada nível são replicatas iguais em peso). As médias por tratamento são:
Pelo aspecto dos pontos (aumento não-linear com concentração), começo testando um polinômio de grau 2 (quadrático). Isso segue a regra de tentar modelos simples primeiro. Em seguida farei o teste de falta de ajuste para ver se o quadrático é suficiente.
Passo 4
Ajuste do modelo quadrático por mínimos quadrados (detalhando a álgebra).
Modelo assumido:
\hat{y}=a+bx+cx^{2},
onde:
x é a concentração (%),
\hat{y} é a mortalidade prevista (%).
Para ajustar, resolvemos as equações normais usando os 6 pares (x_i,\bar{y}_i). Vou usar as somas necessárias (com n=6):
Apresentação do modelo ajustado e interpretação dos coeficientes.
Modelo ajustado (arredondando para 6 casas decimais nos coeficientes):
\hat{y}=7,570635+3,601190\,x+0,878333\,x^{2}.
Interpretação informal dos coeficientes:
a é a previsão de mortalidade quando x=0 (controle) — aqui \hat{y}(0)\approx7,571\%.
b é a contribuição linear por unidade de concentração.
c descreve a curvatura; sendo c>0 a curva é convexa (abre para cima).
Passo 6
Cálculo do coeficiente de determinação R^{2} e verificação de adequação.
Calculei a soma de quadrados explicada pelos pontos médios (SSR sobre as médias): \text{SSR}_{\text{méd}}=\sum(\hat{y}_i-\bar{y})^{2}\approx1146,8435é, onde \bar{y}=24,625 é a média das médias.
Para relacionar essa SSR às observações originais (com r=4 repetições), multipliquei por r:
Ou seja, o modelo quadrático explica cerca de 83,74\% da variabilidade total observada.
Passo 7
Teste de falta de ajuste para checar se o polinômio quadrático é suficiente.
A soma de quadrados dos tratamentos foi \text{SQ}_{\text{Trat}}=4731,145. A parte explicada pelo modelo quadrático (no total) é \text{SSR}_{\text{total}}=4587,3739.
A soma de quadrados residual entre tratamentos (falta de ajuste) é
Graus de liberdade: para a decomposição dos tratamentos, o quadrático usa 2 graus de liberdade (componentes linear e quadrático); logo \text{df}_{\text{LoF}}=(t-1)-2=5-2=3.
Quadrado médio do erro (já calculado) \text{QM}_{E}=41,620 (com \text{df}_{E}=18).
Estatística F para falta de ajuste:
F_{\text{LoF}}=\frac{47,9237}{41,620}\approx1,15.
Como F_{\text{LoF}} não é significativo (valor bem menor que o crítico típico para \alpha=0,05), não há evidência de falta de ajuste — o polinômio quadrático é adequado.
Passo 8
Estimativas pontuais segundo o modelo para as concentrações solicitadas.
Como b>0 e c>0, a derivada é positiva para todo x\ge 0 (e, de fato, o vértice da parábola -b/(2c) é negativo: -3,601190/(2\cdot0,878333)\approx-2,05). Portanto no intervalo estudado x\in[0,5] a função é estritamente crescente. Logo a maior mortalidade prevista no intervalo ocorre no maior nível testado, x=5\%.
Conclusão: o nível ótimo (para maximizar mortalidade dentro dos níveis testados) é 5\%.
Passo 10
Maior e menor taxa de mortalidade estimadas pelo modelo no intervalo 0\%\le x\le5\%.
(a) \text{SQ}_{\text{Trat}}=4731,145,\\ \text{df}=5,\\ \text{QM}_{\text{Trat}}=946,229;\\ \text{SQ}_{E}=749,155,\\ \text{df}=18,\\ \text{QM}_{E}=41,620;\\ F\approx22,73. Conclusão: efeito das concentrações é significativo (p<0,05).
(b) Grau do polinômio que explica bem a relação: polinômio quadrático (grau 2).
(c) Modelo ajustado \hat{y}=7,570635+3,601190\,x+0,878333\,x^{2}. Coeficiente de determinação R^{2}\approx0,8374 (83,74%).
(d) Estimativa para 1\%: \hat{y}(1)\approx12,050\%.
(e) Estimativa para 2\%: \hat{y}(2)\approx18,286\%.
(f) Nível ótimo dentro dos testados: 5\% (maior mortalidade prevista).
(g) Menor taxa estimada: \hat{y}(0)\approx7,571\%. Maior taxa estimada: \hat{y}(5)\approx47,535\%.