Considerando que a durabilidade D, em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 meses. Determine:
O primeiro quartil da durabilidade das peças, isto é, o valor Q_{1} tal que P\left(D \leq Q_{1}\right)=25 \%

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede o primeiro quartil da durabilidade Q_{1}, isto é, o valor tal que \,P\bigl(D \leq Q_{1}\bigr)=0,25.
  • Foi dado que a durabilidade D segue uma distribuição exponencial e que a média é \,4 meses.

Passo 2

O que é a distribuição exponencial (explicação didática):
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de vida ou tempos entre eventos quando a taxa de ocorrência é constante no tempo.
  • Ela tem um parâmetro de taxa \lambda (lê‑se “lambda”), com significado: em média ocorrem \lambda falhas por unidade de tempo.
  • A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial é
f(d)=\lambda e^{-\lambda d},\quad d\ge 0,
onde d é o tempo (aqui, em meses).
  • A função de distribuição acumulada (CDF), que dá \,P(D\le d), é
F(d)=1-e^{-\lambda d}.
  • A média (valor esperado) de uma exponencial é
\mathbb{E}[D]=\frac{1}{\lambda}.
Explicando: essa fórmula vem da integral da PDF multiplicada por d, mas aqui basta gravar que média inversamente relacionada a \lambda.

Passo 3

Determinar \lambda a partir da média dada:
  • Sabemos que \mathbb{E}[D]=4 meses, logo
\frac{1}{\lambda}=4.
  • Portanto
\lambda=\frac{1}{4}=0,25\quad\text{(meses}^{-1}\text{)}.
Interpretação: em média há 0,25 “falhas” por mês, ou a média de vida é 4 meses.

Passo 4

Escrever a equação que define o primeiro quartil Q_{1}:
  • Por definição queremos F(Q_{1})=0,25. Usando a CDF:
1-e^{-\lambda Q_{1}}=0,25.

Passo 5

Resolver a equação para Q_{1} passo a passo:
  • Isolar a exponencial:
e^{-\lambda Q_{1}}=1-0,25=0,75.
  • Aplicar logaritmo natural (explicação: \ln é a função inversa de e^{x}; ao aplicar \ln podemos “trazer” o expoente para multiplicar):
-\lambda Q_{1}=\ln(0,75).
  • Portanto
Q_{1}=-\frac{1}{\lambda}\,\ln(0,75).
  • Substituindo \lambda=0,25:
Q_{1}=-\frac{1}{0,25}\,\ln(0,75)= -4\ln(0,75).
  • Observação útil: -\ln(0,75)=\ln\!\left(\tfrac{1}{0,75}\right)=\ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right).

Passo 6

Calcular numericamente e interpretar:
  • Calcule \ln\!\left(\tfrac{4}{3}\right)\approx 0,287682.
  • Multiplicando por 4:
Q_{1}=4\cdot 0,287682\approx 1,150728.
  • Arredondando razoavelmente, Q_{1}\approx 1,151 meses.
  • Interpretação prática: cerca de 25\% das peças terão durabilidade menor ou igual a aproximadamente 1,151 meses.

Resposta

Q_{1}\approx 1,151\\ \text{meses}

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