Considerando que a durabilidade
, em meses, de uma peça mecânica siga uma distribuição exponencial com média igual a 4 meses. Determine:
O primeiro quartil da durabilidade das peças, isto é, o valor
tal que
O primeiro quartil da durabilidade das peças, isto é, o valor
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede o primeiro quartil da durabilidade
, isto é, o valor tal que . - Foi dado que a durabilidade
segue uma distribuição exponencial e que a média é meses.
Passo 2
O que é a distribuição exponencial (explicação didática):
- A distribuição exponencial é usada para modelar tempos de vida ou tempos entre eventos quando a taxa de ocorrência é constante no tempo.
- Ela tem um parâmetro de taxa
(lê‑se “lambda”), com significado: em média ocorrem falhas por unidade de tempo. - A função densidade de probabilidade (PDF) da exponencial é
onde
é o tempo (aqui, em meses).
- A função de distribuição acumulada (CDF), que dá
, é
- A média (valor esperado) de uma exponencial é
Explicando: essa fórmula vem da integral da PDF multiplicada por
, mas aqui basta gravar que média inversamente relacionada a
.
Passo 3
Determinar
a partir da média dada:
- Sabemos que
meses, logo
- Portanto
Interpretação: em média há 0,25 “falhas” por mês, ou a média de vida é 4 meses.
Passo 4
Escrever a equação que define o primeiro quartil
:
- Por definição queremos
. Usando a CDF:
Passo 5
Resolver a equação para
passo a passo:
- Isolar a exponencial:
- Aplicar logaritmo natural (explicação:
é a função inversa de ; ao aplicar podemos “trazer” o expoente para multiplicar):
- Portanto
- Substituindo
:
- Observação útil:
.
Passo 6
Calcular numericamente e interpretar:
- Calcule
. - Multiplicando por
:
- Arredondando razoavelmente,
meses. - Interpretação prática: cerca de
das peças terão durabilidade menor ou igual a aproximadamente meses.