© (10 pontos) Qual é o simétrico de um elemento genérico do
na operação
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta qual é o simétrico de um elemento genérico de
na operação
. Isso está relacionado ao estudo de grupos na álgebra abstrata, onde a operação
é uma regra que combina dois elementos do conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um elemento simétrico (ou inverso) dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, tipo
. A operação
é uma regra que combina dois desses pares para formar outro par em
. No caso mais comum, essa operação é a adição de vetores, onde
.
Passo 3
O elemento simétrico (ou inverso) de um elemento
em
na operação
é aquele que, quando combinado com
usando a operação
, resulta no elemento neutro do grupo. No caso da adição, o elemento neutro é
, porque
.
Passo 4
Então, para encontrar o simétrico de um elemento genérico
em
, precisamos encontrar um par
tal que:
Assumindo que
é adição, temos:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Portanto, o simétrico de
é
.
Resposta
O simétrico de um elemento genérico
em
na operação
é
.