Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a matriz é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma matriz diagonal e uma matriz invertível tal que . Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de .
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de . Isso é feito resolvendo o polinômio característico, que é dado por:
Onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Calculando esse determinante, vamos obter os valores de que satisfazem a equação.
Passo 3
Depois de obter os autovalores, o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos o sistema:
Aqui, é o autovetor associado ao autovalor . Resolver esse sistema nos dará os vetores que formam a base para a diagonalização.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, montamos a matriz . Essa matriz é formada colocando os autovetores como colunas. É importante que esses vetores sejam linearmente independentes para que seja invertível.
Onde cada é um autovetor de .
Passo 5
A matriz diagonal é construída colocando os autovalores na diagonal principal, na mesma ordem dos autovetores em .
Resposta
Pronto! Com essas matrizes P e D encontradas, mostramos que A é diagonalizável, pois satisfazemos a igualdade: