© Mostre que A é diagonalizável, calculando uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que
P^-1 A P=D

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a matriz A é diagonalizável. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre diagonalização de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tal que P^-1 A P = D. Isso envolve encontrar os autovalores e autovetores de A.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores de A. Isso é feito resolvendo o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores. Calculando esse determinante, vamos obter os valores de lambda que satisfazem a equação.

Passo 3

Depois de obter os autovalores, o próximo passo é encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda, resolvemos o sistema:
(A - lambda I)v = 0
Aqui, v é o autovetor associado ao autovalor lambda. Resolver esse sistema nos dará os vetores que formam a base para a diagonalização.

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, montamos a matriz P. Essa matriz é formada colocando os autovetores como colunas. É importante que esses vetores sejam linearmente independentes para que P seja invertível.
P = [v1 v2 dots vn]
Onde cada vi é um autovetor de A.

Passo 5

A matriz diagonal D é construída colocando os autovalores na diagonal principal, na mesma ordem dos autovetores em P.
D = lambda1 & 0 & dots & 0 0 & lambda2 & dots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & dots & lambdan

Resposta

Pronto! Com essas matrizes P e D encontradas, mostramos que A é diagonalizável, pois satisfazemos a igualdade:
P^-1 A P = D

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