Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaço do
. Justifique.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição: se você pegar dois vetores em
e somá-los, o resultado também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em
e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele está em
:
No vetor zero,
, então
está em
. Portanto, a primeira condição é satisfeita.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
.
A soma deles é:
Observe que a segunda coordenada é
, então
também pertence a
. Assim, a segunda condição é satisfeita.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e multiplicá-lo por um escalar
.
A segunda coordenada continua sendo
, então
também está em
. Portanto, a terceira condição é satisfeita.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são atendidas, concluímos que
é um subespaço de
.