Determine quais dos seguintes subconjuntos são subespaço do R^3. Justifique.
S=(x, y, z) mid y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição: se você pegar dois vetores em e somá-los, o resultado também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em e multiplicar por um número qualquer, o resultado também está em .
Vamos verificar essas três condições para o conjunto .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em y = 0 é . Vamos ver se ele está em :
No vetor zero, , então está em . Portanto, a primeira condição é satisfeita.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em u + v = (x1 + x2, 0 + 0, z1 + z2) = (x1 + x2, 0, z1 + z2) . Seja e .
A soma deles é:
Observe que a segunda coordenada é , então também pertence a . Assim, a segunda condição é satisfeita.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em c cdot u = (c x, c cdot 0, c z) = (c x, 0, c z) , digamos , e multiplicá-lo por um escalar .
A segunda coordenada continua sendo , então também está em . Portanto, a terceira condição é satisfeita.

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço vetorial são atendidas, concluímos que é um subespaço de .

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