A cabine do elevador do New York Marquis Marriot percorre uma distância total de 187 m . Sua velocidade máxima é de 304 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. A aceleração e a desaceleração têm módulos iguais a 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (a) Que distância percorre, a partir do repouso, acelerando até a velocidade máxima? (b) Quanto tempo leva, a partir do repouso, para fazer todo o percurso sem parar?

Passo 1

O enunciado diz que a cabine percorre uma distância total de 187 m, sua velocidade máxima é de 304 m/min e a aceleração (e desaceleração) tem módulo de 1,2 m/ s^{2}. Vamos precisar converter a velocidade para m/s, usar a cinemática do movimento uniformemente variado para calcular a distância de aceleração e depois obter o tempo total dividindo em três fases: aceleração, cruzeiro e desaceleração.

Passo 2

Converter a velocidade máxima para m/s:
v_{\max} = \frac{304\\ \mathrm{m/min}}{60\\ \mathrm{s/min}} = \frac{304}{60}\\ \mathrm{m/s} \approx 5,0667\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Distância necessária para acelerar desde o repouso até v_{\max} com aceleração a:
s_1 = \frac{v_{\max}^2}{2\,a}.
Substituindo:
s_1 = \frac{(5{,}0667)^2}{2 \times 1{,}2} = \frac{25{,}673}{2{,}4} \approx 10{,}7\\ \mathrm{m}.

Passo 4

O percurso total tem três fases:
  1. aceleração em s_1,
  2. cruzeiro à velocidade constante em distância s_c,
  3. desaceleração em s_1.
    Como o total é 187 m, a distância em cruzeiro é
s_c = 187 - 2\,s_1 = 187 - 2\times10{,}7 \approx 165{,}6\\ \mathrm{m}.
Os tempos de cada fase são:
t_{\text{acel}} = \frac{v_{\max}}{a} = \frac{5{,}0667}{1{,}2} \approx 4{,}22\\ \mathrm{s},
t_{\text{dec}} = t_{\text{acel}} \approx 4{,}22\\ \mathrm{s},
t_{\text{cru}} = \frac{s_c}{v_{\max}} = \frac{165{,}6}{5{,}0667} \approx 32{,}70\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Somando os tempos das três fases, obtemos o tempo total:
t_{\text{total}} = t_{\text{acel}} + t_{\text{cru}} + t_{\text{dec}} \approx 4{,}22 + 32{,}70 + 4{,}22 \approx 41{,}1\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) 10{,}7 m
(b) 41{,}1 s

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