Um cabo coaxial é composto por dois cilindros concêntricos. Você tem dois cabos, A e B, com a mesma distância entre os cilindros (ou seja, da parte externa do cilindro interno até o cilindro externo, que é considerado fino). Ambos os cabos também usam o mesmo material dielétrico. No entanto, o diâmetro do cabo B é maior que o do cabo A. Como se compara a capacitância por unidade de comprimento dos dois cabos?
Escolha uma opção:
a. Ambos têm exatamente a mesma capacitância por unidade de comprimento.
b. Não pode ser determinado a partir dos dados fornecidos.
c. B tem uma capacitância maior por unidade de comprimento.
O d. A tem uma capacitância maior por unidade de comprimento

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. Temos dois cabos coaxiais, A e B, que são compostos por dois cilindros concêntricos. Eles têm a mesma distância entre os cilindros internos e externos e usam o mesmo material dielétrico. A diferença é que o cabo B tem um diâmetro maior que o cabo A. A pergunta é: como isso afeta a capacitância por unidade de comprimento dos cabos?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é capacitância em cabos coaxiais e como ela depende das dimensões dos cilindros e do material entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um cabo coaxial. Ele é composto por um cilindro interno (condutor) e um cilindro externo (condutor), com um material isolante (dielétrico) entre eles. A capacitância de um cabo coaxial por unidade de comprimento é uma medida de quanto de carga ele pode armazenar por volt aplicado.
A fórmula para a capacitância por unidade de comprimento $ C $ de um cabo coaxial é:
C
onde:
  • $ \varepsilon $ é a permissividade do material dielétrico,
  • $ a $ é o raio do cilindro interno,
  • $ b $ é o raio do cilindro externo,
  • $ \ln $ é o logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos analisar o que a questão nos deu:
  • A distância entre os cilindros internos e externos $ d = b - a $ é a mesma para ambos os cabos.
  • O diâmetro do cabo B é maior que o do cabo A, o que significa que $ b_B > b_A $.
Como $ d = b - a $ é constante, se $ b $ aumenta, $ a $ também deve aumentar para manter $ d $ igual.

Passo 4

Vamos ver como isso afeta a fórmula da capacitância. Com $ d $ constante e $ b_B > b_A $, temos que $ a_B = b_B - d $ e $ a_A = b_A - d $. Como $ b_B > b_A $, então $ a_B > a_A $.
Substituindo na fórmula:
d
bB > bA
Como $ a_B > a_A $, a fração $ \frac{a_B + d}{a_B} $ será menor que $ \frac{a_A + d}{a_A} $. Isso faz com que o denominador $ \ln\left(\frac{a_B + d}{a_B}\right) $ seja menor, aumentando assim $ C_B $ em comparação com $ C_A $.

Passo 5

Portanto, concluímos que, mantendo a distância entre os cilindros e o material dielétrico iguais, um cabo com diâmetro maior no cilindro externo terá uma capacitância por unidade de comprimento maior.

Resposta

A opção c. B tem uma capacitância maior por unidade de comprimento está correta.

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