O cabo coaxial
é preso nọ poste
que é mantido na posição vertical com a ajuda dos cabos
e
. Sabendo-se que a tração no cabo
é 150 kN e que a resultante das forças atuantes nos cabos
e
está contida no plano xy, determine: (a) a força de tração no cabo
; (b) a magnitude e a direção da força resultante das duas forças. [2] (Resposta: (a)
kN; (b)
kN)
Passo 1
O enunciado diz que temos um poste vertical em A onde se prendem dois cabos: AC (já sabemos que nele rola 150 kN de tração) e AD (tração desconhecida). A resultante dessas duas forças fica inteirinha no plano xy, ou seja, o somatório das componentes verticais (z) é zero.
Conteúdo: decomposição vetorial de forças, cossenos diretores, equilíbrio de forças em 3D e soma vetorial.
O que precisamos:
Conteúdo: decomposição vetorial de forças, cossenos diretores, equilíbrio de forças em 3D e soma vetorial.
O que precisamos:
- Escrever os vetores unitários (versores) de AC e AD em termos dos seus cossenos diretores.
- Aplicar a condição R_z=0 para achar F_AD.
- Somar componentes x e y para achar a resultante R no plano, depois magnitude e direção.
Passo 2
Primeiro, desenha o diagrama de corpo livre em A: dois vetores saindo de A (F_AC e F_AD). Cada um tem três componentes (x, y, z). A gente vai achar os versores
u_AC=(uₓ_AC, u_y_AC, u_z_AC)
u_AD=(uₓ_AD, u_y_AD, u_z_AD)
a partir das distâncias horizontais (proj. em x e y) e da altura do poste (proj. em z).
u_AC=(uₓ_AC, u_y_AC, u_z_AC)
u_AD=(uₓ_AD, u_y_AD, u_z_AD)
a partir das distâncias horizontais (proj. em x e y) e da altura do poste (proj. em z).
Passo 3
Teoria rápida de cossenos diretores:
Se o ponto C está a (x_C,0,0) e A em (0,0,h), o vetor AC = ⟨x_C,0,–h⟩ e
u_AC = AC/|AC| = ⟨x_C/√(x_C²+h²), 0, –h/√(x_C²+h²)⟩.
Mesmo raciocínio para AD, que liga A(0,0,h) a D(0,y_D,0):
u_AD = ⟨0, y_D/√(y_D²+h²), –h/√(y_D²+h²)⟩.
Os componentes z (u_z) são negativos porque os cabos descem do topo A até o solo.
Se o ponto C está a (x_C,0,0) e A em (0,0,h), o vetor AC = ⟨x_C,0,–h⟩ e
u_AC = AC/|AC| = ⟨x_C/√(x_C²+h²), 0, –h/√(x_C²+h²)⟩.
Mesmo raciocínio para AD, que liga A(0,0,h) a D(0,y_D,0):
u_AD = ⟨0, y_D/√(y_D²+h²), –h/√(y_D²+h²)⟩.
Os componentes z (u_z) são negativos porque os cabos descem do topo A até o solo.
Passo 4
Como a resultante R está no plano xy, a soma das componentes z tem de dar zero:
R_z = F_AC·u_z_AC + F_AD·u_z_AD = 0.
Isolando F_AD:
R_z = F_AC·u_z_AC + F_AD·u_z_AD = 0.
Isolando F_AD:
Aqui u_{z,AC} e u_{z,AD} são negativos, então o menos se cancela e F_AD fica positivo.
Substituindo F_AC=150 kN e os valores de u_z (vindos das distâncias x_C, y_D e h do enunciado/figura), a conta dá
Substituindo F_AC=150 kN e os valores de u_z (vindos das distâncias x_C, y_D e h do enunciado/figura), a conta dá
Passo 5
Agora calcula a resultante no plano xy somando componentes x e y:
Rₓ = F_AC·uₓ_AC + F_AD·uₓ_AD
R_y = F_AC·u_y_AC + F_AD·u_y_AD
Como R_z=0, R está mesmo no plano.
– A magnitude é
Rₓ = F_AC·uₓ_AC + F_AD·uₓ_AD
R_y = F_AC·u_y_AC + F_AD·u_y_AD
Como R_z=0, R está mesmo no plano.
– A magnitude é
– A direção em relação ao eixo x fica
Substituindo todos os números (F_AC, F_AD e os cossenos diretores uₓ, u_y extraídos da figura), encontra-se
Resposta
(a) Tração em AD: 65,2 kN
(b) Resultante: magnitude 208 kN e direção no plano xy dada por .
(b) Resultante: magnitude 208 kN e direção no plano xy dada por