Um cabo elétrico de aluminio com 15 mm de diâmetro deverâ ser isolado com borracha (
), O cabo estará ao ar livre (
) a
. Investigue o efeito da espessura da isolaçâo na dissipação de calor, admitindo que a temperatura na superficie do cabo é de
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente investigue como a espessura da isolação (borracha) afeta a dissipação de calor de um cabo cilíndrico, sabendo que a temperatura na superfície do cabo (antes da isolação) é
e o ar ambiente está a
. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
O que eu vou calcular: a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (isto é, por metro do cabo)
em função da espessura da isolação
(ou seja, em função do raio externo
), e identificar o efeito (quando a isolação aumenta a perda e quando diminui). A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Modelo físico e equação básica. O calor sai do metal, atravessa radialmente a isolação (condução em coordenadas cilíndricas) e é retirado pelo ar por convecção na superfície externa. Essas duas resistências térmicas ficam em série: resistência por condução do cilindro e resistência por convecção na superfície externa. Para comprimento unitário
temos:
- Resistência térmica por condução radial através da isolação (cilindro oco):
Aqui
é o raio interno (m),
o raio externo (m),
a condutividade (kcal/(h·m·°C)),
o comprimento (m). Essa fórmula provém da solução estacionária em coordenadas cilíndricas (é a análoga cilíndrica da resistência
na barra, mas com a área que varia com
).
- Resistência térmica por convecção na face externa (por unidade de comprimento):
Aqui
é o coeficiente convectivo (kcal/(h·m^2·°C)).
A queda total de temperatura entre a superfície do cabo e o ar é
. Logo a taxa de calor por unidade de comprimento é:
(unidade: kcal/(h·m)). No que segue vou usar
para obter
por metro.
Passo 3
Colocando as fórmulas juntas num único expressão em função de
(com
fixo):
Explico: o denominador é a soma das duas resistências (cada termo em unidades de
por metro). A variação de
aparece em ambos os termos: no termo logarítmico (condução) e no termo
(convecção).
Passo 4
Conceito importante — raio crítico da isolação. Existe um raio externo
tal que, se
, aumentar
(ou seja, colocar uma isolação mais fina) INCREMENTA a perda de calor; se
, aumentar
reduz a perda. Esse valor pode ser obtido diferenciando a resistência total em relação a
e achando o ponto em que a taxa de variação muda de sinal. O resultado clássico (e fácil de derivar) é:
Interpretação física rápida e amigável:
tem dimensão de comprimento; quando a camada isolante é pequena comparada a
a maior área externa (quando você adiciona isolação) aumenta a dissipação mais do que a resistência extra que a isolação adiciona; quando a camada passa desse valor, a resistência adicional vence e a dissipação cai.
Passo 5
Calculemos o raio crítico e a espessura crítica numérica com os dados:
A espessura de isolação necessária para que o raio externo alcance esse valor é
Conclusão curta e prática: enquanto a isolação externa tiver espessura
(ou
), a adição de isolação aumenta a perda térmica; só a partir de
a isolação começa a reduzir a perda.
Passo 6
Agora faço cálculos numéricos de
(kcal/(h·m)) para vários valores representativos da espessura
(e mostro os passos de cálculo de cada resistência). Vou usar
e
.
Caso genérico: para dado
temos
.
Cálculos (cada linha mostra ) — arredondei os resultados a 3 dígitos significativos úteis.
Cálculos (cada linha mostra
- Para
(sem isolação, ):
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( ):
- Para
( , ligeiramente abaixo do raio crítico):
- Para
(espessura , ponto crítico):
- Para
( , já acima do crítico):
Resumo numérico dos
(arredondados): para
obtemos aproximadamente
respectivamente. Note que
aumenta ao adicionarmos isolação desde
até aproximadamente
(raio externo
), atingindo um máximo ~
, e só depois, para espessuras maiores,
começa a diminuir.
Passo 7
Interpretação física final e recomendação (amigável): com os dados dessa borracha e dessa convecção do ar, o raio crítico é
. Como o raio do cabo metálico é
, adicionar capas finas de borracha (até cerca de
de espessura) na verdade aumenta a perda térmica — contraintuitivo, mas explicado pelo fato de que a área externa aumenta e a resistência de condução da borracha aumenta lentamente (logaritmicamente), de modo que a queda de resistência convectiva domina inicialmente. Só quando a isolação fica mais espessa que
é que a isolação começa a reduzir a perda de calor. Se o objetivo for reduzir dissipação térmica você deve escolher
; se por outro lado houver razões mecânicas ou outras restrições, pequenas camadas aumentam a dissipação.
Resposta
espessura crítica
Taxa de calor por metro