Um cabo elétrico de aluminio com 15 mm de diâmetro deverâ ser isolado com borracha ( k=0,134 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ), O cabo estará ao ar livre ( \mathrm{h}=7.32 \mathrm{Kcal} / \mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) a 20^{\circ} \mathrm{C}. Investigue o efeito da espessura da isolaçâo na dissipação de calor, admitindo que a temperatura na superficie do cabo é de 65{ }^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente investigue como a espessura da isolação (borracha) afeta a dissipação de calor de um cabo cilíndrico, sabendo que a temperatura na superfície do cabo (antes da isolação) é 65{ }^{\circ}\mathrm{C} e o ar ambiente está a 20{ }^{\circ}\mathrm{C}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{diâmetro do cabo} = 15\\ \mathrm{mm},\\\ &\text{logo o raio interno (raio do cabo metálico)}\\ r_i = \tfrac{15}{2}\\ \mathrm{mm} = 7{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0075\\ \mathrm{m},\\\ &\text{condutividade térmica da borracha } k = 0{,}134\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m\cdot ^\circ C)},\\\ &\text{coeficiente convectivo do ar } h = 7{,}32\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^2\cdot ^\circ C)},\\\ &\text{temperatura da superfície do cabo } T_s = 65^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura do ar } T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.\\\ \end{aligned}âáéí
O que eu vou calcular: a taxa de perda de calor por unidade de comprimento (isto é, por metro do cabo) Q' em função da espessura da isolação t (ou seja, em função do raio externo r_o = r_i + t), e identificar o efeito (quando a isolação aumenta a perda e quando diminui). A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Modelo físico e equação básica. O calor sai do metal, atravessa radialmente a isolação (condução em coordenadas cilíndricas) e é retirado pelo ar por convecção na superfície externa. Essas duas resistências térmicas ficam em série: resistência por condução do cilindro e resistência por convecção na superfície externa. Para comprimento unitário L=1\\ \mathrm{m} temos:
  • Resistência térmica por condução radial através da isolação (cilindro oco):
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k L}.
Aqui r_i é o raio interno (m), r_o o raio externo (m), k a condutividade (kcal/(h·m·°C)), L o comprimento (m). Essa fórmula provém da solução estacionária em coordenadas cilíndricas (é a análoga cilíndrica da resistência L/(kA) na barra, mas com a área que varia com r).
  • Resistência térmica por convecção na face externa (por unidade de comprimento):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_o L h}.
Aqui h é o coeficiente convectivo (kcal/(h·m^2·°C)).
A queda total de temperatura entre a superfície do cabo e o ar é T_s-T_\infty. Logo a taxa de calor por unidade de comprimento é:
Q'=\frac{T_s-T_\infty}{R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}}
(unidade: kcal/(h·m)). No que segue vou usar L=1\\ \mathrm{m} para obter Q' por metro.

Passo 3

Colocando as fórmulas juntas num único expressão em função de r_o (com r_i fixo):
Q'(r_o)=\frac{T_s-T_\infty}{\dfrac{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}{2\pi k}+\dfrac{1}{2\pi r_o h}}.
Explico: o denominador é a soma das duas resistências (cada termo em unidades de \mathrm{h\cdot ^\circ C / kcal} por metro). A variação de r_o aparece em ambos os termos: no termo logarítmico (condução) e no termo 1/(r_o) (convecção).

Passo 4

Conceito importante — raio crítico da isolação. Existe um raio externo r_{\text{cr}} tal que, se r_o<r_{\text{cr}}, aumentar r_o (ou seja, colocar uma isolação mais fina) INCREMENTA a perda de calor; se r_o>r_{\text{cr}}, aumentar r_o reduz a perda. Esse valor pode ser obtido diferenciando a resistência total em relação a r_o e achando o ponto em que a taxa de variação muda de sinal. O resultado clássico (e fácil de derivar) é:
r_{\text{cr}}=\frac{k}{h}.
Interpretação física rápida e amigável: k/h tem dimensão de comprimento; quando a camada isolante é pequena comparada a k/h a maior área externa (quando você adiciona isolação) aumenta a dissipação mais do que a resistência extra que a isolação adiciona; quando a camada passa desse valor, a resistência adicional vence e a dissipação cai.

Passo 5

Calculemos o raio crítico e a espessura crítica numérica com os dados:
r_{\text{cr}}=\frac{k}{h}=\frac{0{,}134}{7{,}32}=0{,}0183005\\ \mathrm{m}\approx 18{,}30\\ \mathrm{mm}.
A espessura de isolação necessária para que o raio externo alcance esse valor é
t_{\text{cr}}=r_{\text{cr}}-r_i=0{,}0183005-0{,}0075=0{,}0108005\\ \mathrm{m}\approx 10{,}80\\ \mathrm{mm}.
Conclusão curta e prática: enquanto a isolação externa tiver espessura t < 10{,}8\\ \mathrm{mm} (ou r_o<18{,}3\\ \mathrm{mm}), a adição de isolação aumenta a perda térmica; só a partir de t>10{,}8\\ \mathrm{mm} a isolação começa a reduzir a perda.

Passo 6

Agora faço cálculos numéricos de Q' (kcal/(h·m)) para vários valores representativos da espessura t (e mostro os passos de cálculo de cada resistência). Vou usar T_s-T_\infty=65-20=45^\circ\mathrm{C} e L=1\\ \mathrm{m}.
Caso genérico: para dado t temos r_o=r_i+t.
Cálculos (cada linha mostra r_o,\;R_{\text{cond}},\;R_{\text{conv}},\;R_{\text{total}},\;Q') — arredondei os resultados a 3 dígitos significativos úteis.
  1. Para t=0\\ \mathrm{mm} (sem isolação, r_o=r_i=0{,}0075\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0075\\ \mathrm{m},\\\ &R_{\text{cond}}=\frac{\ln(1)}{2\pi k}=0,\\\ &R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi r_o h}=\frac{1}{2\pi(0{,}0075)(7{,}32)}\approx 2{,}898\\ \mathrm{h\cdot ^\circ C/kcal\\ (por\\ m)},\\\ &R_{\text{total}}=2{,}898,\\\ &Q'=\frac{45}{2{,}898}\approx 15{,}54\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para t=1\\ \mathrm{mm} ( r_o=0{,}0085\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0085,\\\ &R_{\text{cond}}=\frac{\ln(0{,}0085/0{,}0075)}{2\pi k}\approx 0{,}1493,\\\ &R_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi(0{,}0085)h}\approx 2{,}5571,\\\ &R_{\text{total}}\approx 2{,}7064,\\\ &Q'\approx \frac{45}{2{,}7064}\approx 16{,}63\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para t=2\\ \mathrm{mm} ( r_o=0{,}0095\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0095,\\\ &R_{\text{cond}}\approx 0{,}2807,\\\ &R_{\text{conv}}\approx 2{,}2883,\\\ &R_{\text{total}}\approx 2{,}5690,\\\ &Q'\approx 17{,}52\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para t=5\\ \mathrm{mm} ( r_o=0{,}0125\\ \mathrm{m}):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0125,\\\ &R_{\text{cond}}\approx 0{,}6067,\\\ &R_{\text{conv}}\approx 1{,}7391,\\\ &R_{\text{total}}\approx 2{,}3459,\\\ &Q'\approx 19{,}19\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para t=10\\ \mathrm{mm} ( r_o=0{,}0175\\ \mathrm{m}, ligeiramente abaixo do raio crítico):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0175,\\\ &R_{\text{cond}}\approx 1{,}0064,\\\ &R_{\text{conv}}\approx 1{,}2426,\\\ &R_{\text{total}}\approx 2{,}2490,\\\ &Q'\approx 20{,}00\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para r_o=r_{\text{cr}}=0{,}0183005\\ \mathrm{m} (espessura t\approx 10{,}80\\ \mathrm{mm}, ponto crítico):
\begin{aligned} &R_{\text{total}}\approx 2{,}2467,\qquad Q'\approx \frac{45}{2{,}2467}\approx 20{,}03\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
  1. Para t=20\\ \mathrm{mm} ( r_o=0{,}0275\\ \mathrm{m}, já acima do crítico):
\begin{aligned} &r_o=0{,}0275,\\\ &R_{\text{cond}}\approx 1{,}543,\\\ &R_{\text{conv}}\approx 0{,}7906,\\\ &R_{\text{total}}\approx 2{,}3336,\\\ &Q'\approx 19{,}29\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}. \end{aligned}
Resumo numérico dos Q' (arredondados): para t=0,1,2,5,10,10{,}8,20\\ \mathrm{mm} obtemos aproximadamente
Q'\approx 15{,}54,\\\ 16{,}63,\\\ 17{,}52,\\\ 19{,}19,\\\ 20{,}00,\\\ 20{,}03,\\\ 19{,}29\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)},
respectivamente. Note que Q' aumenta ao adicionarmos isolação desde t=0 até aproximadamente t\approx 10{,}8\\ \mathrm{mm} (raio externo 18{,}3\\ \mathrm{mm}), atingindo um máximo ~ 20{,}03\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}, e só depois, para espessuras maiores, Q' começa a diminuir.

Passo 7

Interpretação física final e recomendação (amigável): com os dados dessa borracha e dessa convecção do ar, o raio crítico é \,r_{\text{cr}}=k/h\approx 18{,}3\\ \mathrm{mm}. Como o raio do cabo metálico é 7{,}5\\ \mathrm{mm}, adicionar capas finas de borracha (até cerca de 10{,}8\\ \mathrm{mm} de espessura) na verdade aumenta a perda térmica — contraintuitivo, mas explicado pelo fato de que a área externa aumenta e a resistência de condução da borracha aumenta lentamente (logaritmicamente), de modo que a queda de resistência convectiva domina inicialmente. Só quando a isolação fica mais espessa que t_{\text{cr}}\approx 10{,}8\\ \mathrm{mm} é que a isolação começa a reduzir a perda de calor. Se o objetivo for reduzir dissipação térmica você deve escolher t>10{,}8\\ \mathrm{mm}; se por outro lado houver razões mecânicas ou outras restrições, pequenas camadas aumentam a dissipação.

Resposta

r_{\text{cr}}=\dfrac{k}{h}=\dfrac{0{,}134}{7{,}32}=0{,}0183005\\ \mathrm{m}\approx 18{,}30\\ \mathrm{mm}.\n
espessura crítica t_{\text{cr}}=r_{\text{cr}}-r_i\approx 0{,}0108005\\ \mathrm{m}\approx 10{,}80\\ \mathrm{mm}.\n
Taxa de calor por metro Q' para espessuras selecionadas:\n
t=0\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 15{,}54\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t=1\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 16{,}63\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t=2\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 17{,}52\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t=5\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 19{,}19\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t=10\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 20{,}00\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t\approx 10{,}80\\ \mathrm{mm} (r_o=r_{\text{cr}}):\\ Q'\approx 20{,}03\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}\n
t=20\\ \mathrm{mm}:\\ Q'\approx 19{,}29\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m)}

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