Um cabo, ligado ao ponto A, exerce uma força de P=8,04 kN na ponta B de um guindaste de L=28,9 m, inclinado de theta=34,3^circ. O ponto O está posicionado h=0,998 m acima do solo. Calcule o torque máximo possível relação ao ponto O.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um guindaste de comprimento que forma um ângulo com a horizontal. Na ponta desse guindaste atua uma força vinda de um cabo preso em algum ponto . Queremos saber qual é o momento (torque) máximo que essa força produz em relação a um ponto , que fica a uma altura do solo.
Conteúdo/matéria: Momento de uma força em relação a um ponto (produto vetorial e distância perpendicular).
O que vamos usar:
  1. Coordenadas de e de .
  2. Cálculo da distância (módulo do vetor posição) entre e .
  3. Fórmula do momento máximo: , onde é essa distância (no caso de força perpendicular ao vetor posição).

Passo 2

Primeiro, vamos achar as coordenadas do ponto xB = Lcostheta = 28,9cos(34,3^circ) em relação ao solo, tomando a projeção do guindaste no plano vertical:
  • Componente horizontal: zB = Lsintheta = 28,9sin(34,3^circ)
  • Componente vertical (altura do ponto em relação ao solo):
O ponto está a uma altura do solo, ou seja coordenadas no mesmo referencial vertical.

Passo 3

Agora o vetor posição de vec r = l(xB - 0,;zB - hr) = l(Lcostheta,;Lsintheta - hr) até r = |vec r| = raiz(Lcostheta)^2 + l(Lsintheta - hr)^2 é
A gente precisa do módulo desse vetor, porque o momento máximo acontece quando a força é perpendicular a , dando

Passo 4

Vamos calcular numericamente cada parte:
Lcostheta = 28,9cos(34,3^circ)approx 28,9times0,8299 approx 24,00 m,
Lsintheta = 28,9sin(34,3^circ)approx 28,9times0,5588 approx 16,15 m,
zB - h = 16,15 - 0,998 = 15,152 m
Logo
r = raiz24,00^2 + 15,152^2 approx raiz576 + 229,59 approx raiz805,59 approx 28,39 m

Passo 5

Como o momento máximo de uma força em relação a um ponto é
Mmax = P ; r,
e Mmax = (8,04times10^3 N)times(28,39 m) approx 2,2855times10^5 N·m , temos

Resposta

(ou ).

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