(a) Em cada uma das alíneas seguintes dê exemplo dum
para o qual se verifique a condição enunciada.
(i)
é máximo local de
.
(ii)
é mínimo local de
.
(iii)
é ponto sela de
.
(b) Para o valor de
indicado em (a)(ii), verifique se ( 0,0 ) é um mínimo absoluto de
.
(i)
(ii)
(iii)
(b) Para o valor de
Passo 1
No enunciado temos a família de funções f_{a,b}(x,y)=a x² + b y² e queremos escolher parâmetros (a,b) ∈ ℝ² tais que em (0,0) ocorra: máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar o estudo de extremos em funções de duas variáveis, aplicando o critério do Hessiano.
Passo 2
O Hessiano de f_{a,b} em (x,y) é a matriz das segundas derivadas: H(x,y)=
=
. O critério diz: se H é definida positiva (a>0 e b>0) então mínimo local; se definida negativa (a<0 e b<0) então máximo local; se indefinida (ab<0) ponto de sela.
Passo 3
Para (0,0) ser máximo local precisamos de a<0 e b<0. Um exemplo simples é (a,b)=(-1,-1), pois então f(x,y)=-x² - y² tem Hessiano definido negativo.
Passo 4
Para (0,0) ser mínimo local precisamos de a>0 e b>0. Um exemplo simples é (a,b)=(1,1), pois então f(x,y)=x² + y² tem Hessiano definido positivo.
Passo 5
Para (0,0) ser ponto de sela precisamos de ab<0. Um exemplo é (a,b)=(1,-1), pois então f(x,y)=x² - y² tem Hessiano indefinido.
Passo 6
Para (a,b)=(1,1), f(x,y)=x²+y² satisfaz f(x,y)≥0= f(0,0) em todo ℝ², logo (0,0) não é só mínimo local mas também mínimo absoluto.
Resposta
(i) (a,b)=(-1,-1); (ii) (1,1); (iii) (1,-1). Para (a,b)=(1,1), (0,0) é mínimo absoluto de f_{1,1}.