(a) Em cada uma das alíneas seguintes dê exemplo dum par(a, b) in R^2 para o qual se verifique a condição enunciada.
(i) (0,0) é máximo local de fa, b.
(ii) (0,0) é mínimo local de fa, b.
(iii) (0,0) é ponto sela de fa, b.
(b) Para o valor de (a, b) indicado em (a)(ii), verifique se ( 0,0 ) é um mínimo absoluto de fa, b.

Passo 1

No enunciado temos a família de funções f_{a,b}(x,y)=a x² + b y² e queremos escolher parâmetros (a,b) ∈ ℝ² tais que em (0,0) ocorra: máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos usar o estudo de extremos em funções de duas variáveis, aplicando o critério do Hessiano.

Passo 2

O Hessiano de f_{a,b} em (x,y) é a matriz das segundas derivadas: H(x,y)= fxx&fxyfyx&fyy= 2a&00&2b. O critério diz: se H é definida positiva (a>0 e b>0) então mínimo local; se definida negativa (a<0 e b<0) então máximo local; se indefinida (ab<0) ponto de sela.

Passo 3

Para (0,0) ser máximo local precisamos de a<0 e b<0. Um exemplo simples é (a,b)=(-1,-1), pois então f(x,y)=-x² - y² tem Hessiano definido negativo.

Passo 4

Para (0,0) ser mínimo local precisamos de a>0 e b>0. Um exemplo simples é (a,b)=(1,1), pois então f(x,y)=x² + y² tem Hessiano definido positivo.

Passo 5

Para (0,0) ser ponto de sela precisamos de ab<0. Um exemplo é (a,b)=(1,-1), pois então f(x,y)=x² - y² tem Hessiano indefinido.

Passo 6

Para (a,b)=(1,1), f(x,y)=x²+y² satisfaz f(x,y)≥0= f(0,0) em todo ℝ², logo (0,0) não é só mínimo local mas também mínimo absoluto.

Resposta

(i) (a,b)=(-1,-1); (ii) (1,1); (iii) (1,-1). Para (a,b)=(1,1), (0,0) é mínimo absoluto de f_{1,1}.

Exercícios relacionados