Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
A=(0,0,0) \text { e } B=(1,2,3)
\vec{F}(x, y, z)=(x+y, y+z, x+z)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Foi dado o campo vetorial \vec{F}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
\vec{F}(x,y,z) = (\,x+y,\; y+z,\; x+z\,).
Aqui estou escrevendo \vec{F}=(P,Q,R) com
P(x,y,z)=x+y,\qquad Q(x,y,z)=y+z,\qquad R(x,y,z)=x+z.
  • Foram indicados os pontos A=(0,0,0) e B=(1,2,3).
O enunciado pede:
  1. Determinar se o campo é conservativo e justificar.
  2. Se for conservativo, encontrar uma função potencial e então usar essa potencial para calcular a integral de linha entre A e B.

Passo 2

O critério que vamos usar (explicado de forma simples e concreta).
  • Definição prática: um campo vetorial \vec{F}=(P,Q,R) é conservativo em um domínio simplesmente conexo se existe uma função escalar \varphi(x,y,z) tal que
\vec{F}=\nabla\varphi,
ou seja
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=R.
  • Um critério prático e muito usado: em um domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^3) é equivalente verificar se o rotacional (curl) é o vetor zero:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
  • Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas, para \vec{F}=(P,Q,R):
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Explicando: cada componente é a diferença entre derivadas parciais cruzadas; se todas as três diferenças forem zero, então o rotacional é nulo.

Passo 3

Calcular explicitamente as derivadas parciais que aparecem no rotacional para o nosso \vec{F}.
Relembrando as componentes:
P(x,y,z)=x+y,\quad Q(x,y,z)=y+z,\quad R(x,y,z)=x+z.
Agora calcule cada derivada:
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}. Como R=x+z, R não depende de y, logo
\frac{\partial R}{\partial y}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}. Como Q=y+z, ao derivar em relação a z obtemos
\frac{\partial Q}{\partial z}=1.
Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-1=-1.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}. Como P=x+y não depende de z,
\frac{\partial P}{\partial z}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}. Como R=x+z, ao derivar em relação a x obtemos
\frac{\partial R}{\partial x}=1.
Portanto a segunda componente do rotacional é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-1=-1.
  • \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}. Como Q=y+z não depende de x,
\frac{\partial Q}{\partial x}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}. Como P=x+y,
\frac{\partial P}{\partial y}=1.
Portanto a terceira componente do rotacional é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-1=-1.

Passo 4

Conclusão a partir dos cálculos do rotacional e interpretação no contexto do problema.
  • Juntando as três componentes, encontramos
\nabla\times\vec{F}=(-1,\,-1,\,-1).
  • Como \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0}, o rotacional não é o vetor nulo. Em \mathbb{R}^3 isso significa que o campo \vec{F} NÃO é conservativo (não existe função escalar global \varphi com \vec{F}=\nabla\varphi).
  • Consequência prática: a integral de linha \displaystyle\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec r entre dois pontos A e B depende do caminho \gamma escolhido; não se pode simplesmente usar uma diferença de potencial \varphi(B)-\varphi(A) porque essa \varphi global não existe.

Passo 5

Comentário adicional didático e verificação rápida por outra condição (cheque de consistência).
  • Outra checagem rápida (menor cálculo): para um campo gradiente deve valer \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x. Aqui
\frac{\partial P}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,
já são diferentes, o que indica imediatamente que o campo não pode ser gradiente. É apenas uma verificação mais rápida da mesma incompatibilidade que vimos com o rotacional.
  • Não foi pedido calcular a integral de linha para um caminho específico; se o exercício pedisse a integral entre A e B seria necessário especificar um caminho (por exemplo reta) para computá-la, porque o resultado depende do caminho.

Resposta

O campo não é conservativo, pois \nabla\times\vec{F}=(-1,-1,-1)\neq(0,0,0). Logo não existe função potencial global e a integral de linha entre A e B depende do caminho.

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