Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Foi dado o campo vetorial
Aqui estou escrevendo
com
- Foram indicados os pontos
e .
O enunciado pede:
- Determinar se o campo é conservativo e justificar.
- Se for conservativo, encontrar uma função potencial e então usar essa potencial para calcular a integral de linha entre
e .
Passo 2
O critério que vamos usar (explicado de forma simples e concreta).
- Definição prática: um campo vetorial
é conservativo em um domínio simplesmente conexo se existe uma função escalar tal que
ou seja
- Um critério prático e muito usado: em um domínio simplesmente conexo (como
) é equivalente verificar se o rotacional (curl) é o vetor zero:
- Fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas, para
:
Explicando: cada componente é a diferença entre derivadas parciais cruzadas; se todas as três diferenças forem zero, então o rotacional é nulo.
Passo 3
Calcular explicitamente as derivadas parciais que aparecem no rotacional para o nosso
.
Relembrando as componentes:
Agora calcule cada derivada:
-
. Como , não depende de , logo
-
. Como , ao derivar em relação a obtemos
Portanto a primeira componente do rotacional é
-
. Como não depende de ,
-
. Como , ao derivar em relação a obtemos
Portanto a segunda componente do rotacional é
-
. Como não depende de ,
-
. Como ,
Portanto a terceira componente do rotacional é
Passo 4
Conclusão a partir dos cálculos do rotacional e interpretação no contexto do problema.
- Juntando as três componentes, encontramos
- Como
, o rotacional não é o vetor nulo. Em isso significa que o campo NÃO é conservativo (não existe função escalar global com ). - Consequência prática: a integral de linha
entre dois pontos e depende do caminho escolhido; não se pode simplesmente usar uma diferença de potencial porque essa global não existe.
Passo 5
Comentário adicional didático e verificação rápida por outra condição (cheque de consistência).
- Outra checagem rápida (menor cálculo): para um campo gradiente deve valer
. Aqui
já são diferentes, o que indica imediatamente que o campo não pode ser gradiente. É apenas uma verificação mais rápida da mesma incompatibilidade que vimos com o rotacional.
- Não foi pedido calcular a integral de linha para um caminho específico; se o exercício pedisse a integral entre
e seria necessário especificar um caminho (por exemplo reta) para computá-la, porque o resultado depende do caminho.
Resposta
O campo não é conservativo, pois
. Logo não existe função potencial global e a integral de linha entre
e
depende do caminho.