Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos:
e
.
Pontos:
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial e os pontos de integração:
- Campo vetorial
. - Pontos
e .
O que se pede:
- Determinar se
é conservativo ou não e justificar. - Se for conservativo, encontrar uma função potencial (uma função
tal que ). - Usar essa função potencial para calcular a integral de linha
.
Passo 2
Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática):
- Para um campo no plano escrito como
, uma condição prática para ser conservativo (em um domínio simples, sem “buracos”) é que as derivadas parciais satisfaçam
- Por quê? Porque se existe
com , então (derivadas mistas comutam para funções suaves), o que dá exatamente . - Além disso, o domínio aqui é todo
(nenhum ponto excluído), que é simplesmente conexo, então a condição acima é também suficiente: igualdade das derivadas parciais implica existência de potencial.
Passo 3
Aplicando o critério ao campo dado (cálculos explícitos):
- Identificamos
e . - Calculamos as derivadas parciais:
- Como
em todo , a igualdade vale.
Passo 4
Conclusão sobre ser conservativo (com justificativa final curta):
- Pelo cálculo do passo anterior e pelo fato de o domínio ser todo
(simplesmente conexo), concluímos que é conservativo. - Então existe uma função potencial
tal que .
Passo 5
Como encontrar a função potencial (método passo a passo e explicação):
- Procuramos
tal que
- Integramos
em relação a (tratando como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
- Agora usamos a condição
. Calculamos da forma encontrada:
- Igualando a
esperada:
- Integramos
:
onde
é constante real.
Passo 6
Escrevendo a função potencial final e comentando a constante:
- Assim, uma função potencial válida é
- A constante
pode ser escolhida arbitrariamente (ela não altera gradiente nem a integral de linha entre dois pontos). Para simplicidade escolhemos quando for calcular a integral.
Passo 7
Usando a função potencial para calcular a integral de linha (teorema fundamental para gradientes):
- Para um campo conservativo
, a integral de linha entre e independe do caminho e vale
- Calculamos
nos pontos dados (usando ):
- Portanto
Resposta
Conservativo: sim.
Função potencial: (pode escolher
).
Função potencial: