Para cada campo vetorial abaixo, determine se ele é conservativo ou não e justifique. Em caso positivo, encontre uma função potencial e a utilize para calcular a integral de linha entre os pontos A e B indicados.
Pontos: A=(0,0) e B=(1,2).
\vec{F}(x, y)=\left(x^{2}+y, x+2 y\right)

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial e os pontos de integração:
  • Campo vetorial \vec{F}(x,y)=\big(x^{2}+y,\;x+2y\big).
  • Pontos A=(0,0) e B=(1,2).
O que se pede:
  1. Determinar se \vec{F} é conservativo ou não e justificar.
  2. Se for conservativo, encontrar uma função potencial (uma função \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}).
  3. Usar essa função potencial para calcular a integral de linha \displaystyle\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Entendendo o critério que vamos usar (explicação didática):
  • Para um campo no plano escrito como \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)), uma condição prática para ser conservativo (em um domínio simples, sem “buracos”) é que as derivadas parciais satisfaçam
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
  • Por quê? Porque se existe \varphi com \nabla\varphi=(\phi_x,\phi_y)=(P,Q), então \phi_{xy}=\phi_{yx} (derivadas mistas comutam para funções suaves), o que dá exatamente \partial_y P=\partial_x Q.
  • Além disso, o domínio aqui é todo \mathbb{R}^2 (nenhum ponto excluído), que é simplesmente conexo, então a condição acima é também suficiente: igualdade das derivadas parciais implica existência de potencial.

Passo 3

Aplicando o critério ao campo dado (cálculos explícitos):
  • Identificamos P(x,y)=x^{2}+y e Q(x,y)=x+2y.
  • Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y\big)=1,
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x+2y\big)=1.
  • Como \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}=1 em todo \mathbb{R}^2, a igualdade vale.

Passo 4

Conclusão sobre ser conservativo (com justificativa final curta):
  • Pelo cálculo do passo anterior e pelo fato de o domínio ser todo \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), concluímos que \vec{F} é conservativo.
  • Então existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}.

Passo 5

Como encontrar a função potencial (método passo a passo e explicação):
  • Procuramos \varphi(x,y) tal que
\phi_x=P=x^{2}+y,\qquad \phi_y=Q=x+2y.
  • Integramos \phi_x em relação a x (tratando y como constante):
\varphi(x,y)=\int (x^{2}+y)\,dx=\frac{1}{3}x^{3}+xy+g(y),
onde g(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.
  • Agora usamos a condição \phi_y=Q. Calculamos \phi_y da forma encontrada:
\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{1}{3}x^{3}+xy+g(y)\right)=x+g'(y).
  • Igualando a \phi_y esperada:
x+g'(y)=x+2y \quad\Rightarrow\quad g'(y)=2y.
  • Integramos g'(y):
g(y)=\int 2y\,dy = y^{2}+C,
onde C é constante real.

Passo 6

Escrevendo a função potencial final e comentando a constante:
  • Assim, uma função potencial válida é
\varphi(x,y)=\frac{1}{3}x^{3}+xy+y^{2}+C.
  • A constante C pode ser escolhida arbitrariamente (ela não altera gradiente nem a integral de linha entre dois pontos). Para simplicidade escolhemos C=0 quando for calcular a integral.

Passo 7

Usando a função potencial para calcular a integral de linha (teorema fundamental para gradientes):
  • Para um campo conservativo \vec{F}=\nabla\varphi, a integral de linha entre A e B independe do caminho e vale
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(B)-\varphi(A).
  • Calculamos \varphi nos pontos dados (usando C=0):
\varphi(1,2)=\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+1\cdot 2+2^{2}=\frac{1}{3}+2+4=\frac{1}{3}+6=\frac{19}{3},
\varphi(0,0)=\frac{1}{3}\cdot 0^{3}+0\cdot 0+0^{2}=0.
  • Portanto
\int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi(1,2)-\varphi(0,0)=\frac{19}{3}-0=\frac{19}{3}.

Resposta

Conservativo: sim.
Função potencial: \varphi(x,y)=\dfrac{1}{3}x^{3}+xy+y^{2}+C (pode escolher C=0).
\displaystyle \int_{A}^{B}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\frac{19}{3}

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