Em cada caso abaixo, esboce a região D delimitada pelas curvas sugeridas e em seguida calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região D em torno do eixo indicado.
y=\sqrt{x}, y=0, x=4 ; \quad eixo x=4

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Esboçar (descrever) a região D delimitada por \,y=\sqrt{x},\; y=0,\; x=4.
  • Calcular o volume do sólido obtido ao girar a região D em torno do eixo x=4.
Informações dadas (retiradas diretamente do enunciado):
  • Curva superior: y=\sqrt{x}.
  • Curva inferior: y=0 (eixo x).
  • Limite vertical à direita: x=4.
  • Eixo de rotação: x=4 (reta vertical).
Pontos de interseção relevantes:
  • Interseção de y=\sqrt{x} com y=0 ocorre em x=0 (porque \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0).
  • A curva y=\sqrt{x} atinge y=\sqrt{4}=2 quando x=4.

Passo 2

Descrevendo/“esboçando” mentalmente a região D (como você faria num rascunho na prova):
  • Para x entre 0 e 4, a curva y=\sqrt{x} fica acima do eixo y=0.
  • Assim D é o conjunto \{(x,y)\mid 0\le x\le 4,\; 0\le y\le \sqrt{x}\}: uma região sob a parábola inteira (ramo direito da raiz quadrada), do x=0 até x=4.
  • Ao girar essa região em torno da reta vertical x=4, será gerado um sólido com “casca” interna encostando no eixo de rotação (pois x=4 é uma fronteira de D), e que se estende até a curva x=y^2 (a cada altura y a distância radial é 4-y^2).

Passo 3

Escolha do método de cálculo do volume (e por quê):
  • Como o eixo de rotação é vertical ( x=4) e a região é facilmente descrita por fatias verticais com variável x de 0 a 4, o método das cascas cilíndricas (método das cascas) fica natural e direto: cada fatia vertical gera uma casca ao girar.
  • Alternativa: poderíamos usar discos/aros (washers) integrando em y. Também é perfeitamente válido e dá o mesmo resultado; vou fazer o método das cascas como principal (porque a função está dada em y como \sqrt{x} e os limites em x são simples) e depois mostro o método dos discos como conferência.
Explicando o método das cascas (a “aula rápida”):
  • Pegamos uma fatia vertical em x de espessura dx. Ao girar em torno de x=4 ela gera uma casca cilíndrica.
  • Raio da casca: distância horizontal da fatia até o eixo x=4. Como a fatia está em x e o eixo em x=4, o raio é \,r=4-x (para 0\le x\le 4 isso é positivo).
  • Altura da casca: a altura da região na posição x, dada por y_{\text{top}}-y_{\text{bot}}=\sqrt{x}-0=\sqrt{x}.
  • Área lateral aproximada da casca: 2\pi r\cdot(\text{altura}).
  • Volume da casca elementar: dV = 2\pi r\cdot(\text{altura})\cdot dx.
  • Portanto, integrar de x=0 a x=4 dá o volume total.

Passo 4

Montando o integral usando cascas:
  • Expressões em termos de x:
    • r=4-x.
    • \text{altura}=\sqrt{x}=x^{1/2}.
  • Volume:
V = \int_{x=0}^{x=4} 2\pi(4-x)\,x^{1/2}\,dx.
  • Vamos simplificar o integrando antes de integrar:
(4-x)x^{1/2}=4x^{1/2}-x^{3/2},
então
V = 2\pi\int_{0}^{4}\bigl(4x^{1/2}-x^{3/2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Computando a integral passo a passo (sem pular etapas):
  • Integrais básicas usadas:
    • \displaystyle\int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} (porque ao integrar x^{n} obtemos \frac{x^{n+1}}{n+1}).
    • \displaystyle\int x^{3/2}\,dx = \frac{2}{5}x^{5/2}.
  • Aplicando isso:
\int_{0}^{4} \bigl(4x^{1/2}-x^{3/2}\bigr)\,dx = 4\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}\Big|_{0}^{4} - \frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{4}.
  • Calculando as potências em x=4:
    • 4^{3/2} = (\sqrt{4})^{3} = 2^{3}=8.
    • 4^{5/2} = (\sqrt{4})^{5} = 2^{5}=32.
  • Substituindo:
4\cdot\frac{2}{3}\cdot 8 - \frac{2}{5}\cdot 32 = \frac{8}{3}\cdot 8 - \frac{64}{5} = \frac{64}{3} - \frac{64}{5}.
  • Colocando em denominador comum 15:
\frac{64}{3}-\frac{64}{5} = 64\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =64\cdot\frac{2}{15}=\frac{128}{15}.
  • Portanto a integral dá \dfrac{128}{15}. Multiplicando pelo fator 2\pi:
V = 2\pi\cdot\frac{128}{15}=\frac{256\pi}{15}.

Passo 6

Verificação rápida pelo método dos discos/aros (opcional, para conferir):
  • Trabalhando em fatias horizontais em y: para y de 0 a 2 (pois y=\sqrt{x} atinge 2 em x=4), a região vai de x=y^{2} até x=4.
  • Rotacionando em torno de x=4, cada faixa gera um disco de raio R=4-y^{2} (porque a distância do ponto x=y^{2} ao eixo x=4 é 4-y^{2}). Não há furo interno porque o limite direito x=4 é o eixo.
  • Área do disco: \pi R^{2}=\pi(4-y^{2})^{2}.
  • Volume:
V=\int_{y=0}^{y=2}\pi(4-y^{2})^{2}\,dy =\pi\int_{0}^{2}\bigl(16-8y^{2}+y^{4}\bigr)\,dy,
que, calculado, também resulta em \dfrac{256\pi}{15}. (Isso confirma o resultado obtido por cascas.)

Resposta

\dfrac{256\pi}{15}

Exercícios relacionados